首页 -> 2008年第11期
数学命题讲解要“两注重”
作者：韩安选
（一）数学命题的证明应注重理论基础
1.证明。 证明通俗地说就是讲道理，为一个判断找到充足的理由。一般地说，引用定义、公理、已知定理按照逻辑规则推理来判断一个命题的正确性的过程，数学上称为“证明”。证明的方法很多，有归纳、类比、推理、演绎等，其中演绎推理是运用最多的方法。用已知的普遍结论来推断某特殊事理的成立，即由一般到特殊的推理方法叫演绎法。演绎推理常采用三段论的形式实现，即通常所说的，根据大前提、小前提做出判断的结论。 例如，正方形是菱形（大前提），四边形ABCD是正方形（小前提），四边形ABCD是菱形（结论）。初学阶段应要求学生每步注明理由，即大前提。待学生熟练后，改用“=〉”表示推理过程。
2.证明的途径。如要使学生掌握定理、公式的证明方法，应明确几种证明途径，以提高学生的解题能力。一般来说，直接论证一个命题的真实性的方法，叫直接证法，其中关键在于寻求由已知到求证的思维途径，这又分为综合法（由已知推导到求证）、分析法（由求证追索到已知）及分析综合法。通过证明一个命题的等效命题的真实性的方法，称为间接证法，其中关键在于寻求其等效命题，这种方法又分为同一法和反证法。上述几种证明途径，需要在教学中结合具体实例，突出思路分析，反复细心引导并配以一定数量的练习，才能使学生逐步理解、掌握。
3.逆命题的产生。如原命题“若A则 B”的逆命题是由条件与结论互换而产生的，即“若B则 A”。当原命题中的条件A与结论B都只含一个独立事项时，逆命题易制作，如“对顶角相等”的逆命题是“若两角相等，则这两个角是对顶角”。但当一个命题的条件或结论所含的独立事项不止一个时，要写出它的逆命题就不那么容易了。除了将命题中的所有条件与结论互换而得到其逆命题之外，还可采用“同样数目的部分条件与结论对换”、“部分不同数量的条件与结论对换”的方法制作“逆命题”。例如，“垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的弧。”这个命题含两个独立条件、三个独立的结论，除整体条件、结论对换可得到它的逆命题外，从原命题的条件与结论中各种个数相同的独立事项，对换后一共可得到九个偏逆命题，而且又都是真命题。如采用不同数目的条件、结论对换，还可以产生更多的偏逆命题。应注意的是，原命题正确，逆命题、偏逆命题不一定正确。如“AB∥直线L，则 A、B 到L 的距离相等”，它的逆命题就不正确。
（二）讲解中应注重数学命题的演变与推广
在讲解数学命题时，还应向学生适当地介绍一些典型命题的演变与推论。例如，已知原方程x２+y２=r２，求经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程，讲解步骤如下：要求学生注意课本推导过程和得到的命题，然后提出逆命题“已知直线x0 x+y 0y=r２和圆 x ２+y２ =r２上的一点M(x0 、y0)，求证这条直线和圆相切于点M”。在学生证明后，向学生明确指出：课本上的这一例题可作公式，并将题目叙述成：
1.命题一。已知M(x0，y0)是圆x２+y２=r２上一点，则M点圆的切线方程是x0x+y0y=r２ 。为训练学生的概括分析能力，可提问：如果点M(x0，y0) 不在圆x２+y２=r２上，直线x0x+y0y=r２与圆的位置关系又是怎样的呢？点M(x0，y0)在圆x２+y２=r２外，确定直线x0x+y0y=r２与圆x２+
y２=r２的位置关系。分析：因为M 在圆0 外，所以过M 有两条切线MT1和MT２（T1\ T2是切点），可有命题二。
2.命题二。若过圆x２+y２=r２外的一点M(x0，y0)所引该圆的两条切线MT1和 MT2，则过两个切点T1、T2的直线方程为x0x+y0y=r２。
证明：令T1(x1，y1)和 T2(x2，y2)是从圆x2+y2=r2外一点M(x0，y0)所引切线对应的两个切点，利用命题一，得：直线MT1的方程是x1x+y1y=r2，直线MT2的方程是x2x+y2y=r2。这两条直线必交于定点M(x0，y0），所以x1x0+y1y0=r2与x2x0+y2y0=r2同时成立。再根据点的坐标与曲线方程的关系，说明直线x0x+y0y=r2同时经过T1和 T2，其次考虑到T1与 T2是不是重合的两点，即知直线T1T2的方程是x0x-y0y=r2。如果点M(x0，y0)在圆x2+y2=r2的内部，并且不是圆心，那么直线x0x+y0y=r2的几何意义又是什么呢？这一部分讨论的几何意义就是射影几何学中的极点、极线的概念，体现出由特殊到一般、由一般到特殊的认识发展规律。
总之，数学命题在讲解上要抓住数学命题教学目的，对具体教学对象注重从教育心理学方面进行研究，注重讲解技巧，把素质教育落到实处。
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