首页 -> 2008年第11期
高中生函数概念学习困难的原因分析
作者：郭志刚
（一）函数知识是个复杂的体系
函数概念包括两个本质属性（变量和对应法则）及一些非本质属性（如集合、定义域、值域等），还有函数的单调性、奇偶性、周期性等性质。中学数学的函数就有对数函数、指数函数、三角函数、导函数和函数列（离散型函数）等多种类型。有了函数概念，方程、函数和不等式三者就得以联系和整合，函数知识已经构成了一个复杂的知识体系，成了中学数学的核心内容。因此，学生对函数概念的理解程度也将影响他们对函数有关知识的掌握程度。
（二）“变量”概念的复杂性和辩证性
函数涉及较多的子概念：映射、非空数集、变量（包括自变量、因变量）、定义域、值域、象、原象、对应、对应法则等。其中，“变量”被当成不定义的原名而引入，是函数概念的本质属性。“变量”的关键在于“变”，而“变”在现实中与时、空相关，但数学中对时、空是没有定义的。
另外，数学中的“变量”与日常生活经验是有差异的。函数定义在初中和高中分别采用“变量说”和“对应说”。“变量”、“对应”并没有给出比较明确的定义。在日常生活中“变量”是变化的，是不确定的。而数学中的变量包括常量。正是由于日常的变量概念对学生的干扰，使很多学生认为“Y=2中Y的值不随x的变化而变化，所以它不是函数”。函数概念中变量的意义更具一般性，既可以作为数，也可以作为点、有形之物，甚至为无形的东西。在教学实践中，教师往往对变量概念的理解困难估计不足，课堂上只是给出变量（自变量、因变量）这个词汇，至于学生头脑中的变量概念是怎样的，很少顾及。如果学生不能很好地理解变量概念，就会影响他们对函数概念的理解。有的学生能认识到函数是一种单值对应，但还弄不清是谁对谁的单值对应（函数是函数值对自变量的单值对应），或是在变化了的不熟悉的函数表征形式中难以区分自变量和函数值。
（三）函数的表征形式特别丰富
函数主要的七种表征类型： ①解析式： 这是中学教材中最常见的，例如二次函数f(x)=x2-2x-3；②图象式；③表格式；④集合箭图式(如左图)；⑤函数机器式(如右图)；⑥序偶式：例如，f={(1,2),( 2,4),(3,6),(4,8)} ；⑦通俗语言式：例如，甲是乙的两倍再加上3。
这七种类型各自又有很多的变式，要都能正确识别的确是困难的。有时要求学生在符号语言、图形语言和文字语言之间进行灵活地转换，使抽象思维和形象思维结合起来，这对学生而言，更是一种思维上的挑战。另外，函数概念学习之前，学生对数与形的学习基本上是分开进行的，而函数要求在符号语言与图形语言间进行适当地转换。
中学阶段的数学教学，传统上只是关注函数解析式表征形式的教学，同时它们的图象都是直线或光滑的曲线，只能用列表法表示的函数例子屈指可数。学生从未接触过“不光滑”的曲线，这样势必影响学生对函数概念的建构，导致学生在心理上建立起不恰当的概念表象。学生很容易把按某种对应法则理解为一种规则或规律甚至是一个等式或代数表达式。Vinner指出，在学校教学的函数概念，经常只是用它的一种表征形式，要么是代数符号形式要么只是图形形式，前者会导致学生把函数当作公式。
（四）函数符号的抽象性
函数概念的符号化表示是学习的难点，y=f(x)表示了一种广义的又是特殊的对应关系，其中每一个字母往往既是广义的，又是特定的。例如，f表示任意一个函数，但又是一个确定的函数，但这种含义学生仅从字母是难以看出的。学生不能通过符号“f”来想象对应法则的具体内容，即使f所表示的对应法则是确定的，学生也缺乏足够的为符号“f”建立起具体内容的经验基础；也不能通过x或y来想象定义域，值域到底是什么。总之，要付出比//等符号更多的思维操作。“f”的抽象性和隐蔽性，大大增加了函数的学习难度。
另外，在f(x)的定义中，“对于任意给定的x，都有唯一确定的y”，其中同时强调“任意”和“给定，这对学生的
早期理解是有障碍的。
（五）学生的思维发展
初中生以形式逻辑思维水平为主；刚进入高中的学生，思维刚刚脱离了经验型的逻辑思维，学会了对一些事物进行浅层次的抽象，但还无法上升到辨证思维阶段。这种认知发展的阶段性特点，往往限制了他们对于抽象函数概念的理解和把握，从而导致了在学习函数时对函数对应变化的相依关系深感困难。在函数概念学习之前，基本上是常量数学，所学的数学概念属于形式逻辑的范畴。函数研究变量，变量的本质是辩证法在教学中的应用，即函数是一个辩证概念。这样，一方面是学生的辩证思维发展还处于很不成熟的时期，思维水平基本上还停留在形式逻辑思维的范畴，只能局部地、静止地、分割地、抽象地认识所学的事物；另一方面函数却是一个辩证概念，其特征是发展的、变化的、处于与其他概念相互联系之中的。形成函数概念，必须要冲破形式逻辑思维的局限，进入到辩证思维的领域，这个矛盾构成了函数概念学习的认识障碍。
朱文芳博士指出不同的学生存在不同的数学气质类型，如分析型、几何型和调和型。几何型的学生善于使用形象表示，理解形象化方式的函数关系，且当函数关系或解析式能给予几何图形上的解释时，才感到它是清楚可信的。在进行纯粹解析表示运算时，感觉困难。分析型的学生常把图象置于函数本身之外，不把它看作函数的一部分。在函数问题解答中，只靠解析法处理信息，解释与理解图象的能力差。调和型的学生也在实现数与形的有机结合，符号语言与图形语言的灵活转换过程中存在障碍，所以不同的数学气质类型影响个体对函数概念形成不同的认识水平。