首页 -> 2008年第12期
论分数应用题的有效教学
作者：张再良
（一）问题的提出
当学生学了分数的意义和性质、分数与除法的关系后，笔者布置了人教版第十册数学浙江配套作业本P27的两道题，学生的错误率出于笔者的意料：
分数应用问题真有这样难吗？单元末笔者用同一道题（人教版10册P139页第三题：4米长的绳子平均剪成5段，每段长多少米？每段占全长的几分之几？1段是4米的几分之几？每段的长度占1米的几分之几？）去测试五、六年级的两个班各40名学生，结果如下：
从上表出，对于具象思维为主的五六年级学生来说，分数应用题始终是学生学习的难点。那么，如何有效地提高分数应用题的正确率呢？这是高年级数学教师值得研究的好课题。
（二）原因分析
1.就课而论，缺乏整体意识。分数初识于三年级上册，学习应用于五年级下册，综合复杂于六年级。如果没有用全局的观点来指导教学，就课而论、就课而学，以解决本课指向性的、单一的技巧为重点，那么学生会混淆不堪，错误百出。如上述例举的五年级下例1、2两道求每份数的题目，都是受了整数除法中“大数除以小数”的影响，如果刚好是大数除以小数，“王师傅平均每分钟加工的零件个数”的正确率是62.5%，而小数除以大数的“平均每段的米数”的错误率却达到了55%。
2.就事论事，没有建模意识。分数应用题教学是有策略的。教师应该帮助学生解剖分数应用题的结构特点。如“4米长的绳子平均剪成5段，1段是4米的几分之几”错误率都达到了50%，究其原因都是受“前面的数（一个数）÷后面的数（另一个数）=一个数占另一个数的几分之几”影响。学生没有明白“求一个数是另一个数的几分之几”中的两个数的比较，必须是“相同的单位”这个普遍的法则。所以此题要么是段数与段数比，1段÷全长4米的5段；要么是米数与米数比，1段的0.8米÷全长的4米。
3.就数而数，没有情感意识。数学主要是跟数字打交道，如果能渗透一些情感因数，培养良好的学习习惯，学习数学就会事半功倍。要正确解决分数应用问题，学生必须认真审题，分析数量关系，仔细“对应”，求出问题所需要的条件。没有一丝不苟的态度，稍复杂的分数应用题往往会功亏一篑。如 “4米长的绳子平均剪成5段，每段的长度占1米的几分之几？”首先要有正确的数量关系，1段的米数÷1米，其次求出1段的对应米数是4/5米。最后相除化简求出分率。
（三）教学对策
根据出现的问题和存在的原因分析，基于五年级学习的两类与分数相关的应用问题：求一个数是另一个数的几分之几（率）和用分数表示的求平均数问题（量），可以通过以下几条措施来提高教学的有效性。
1.分清问题的类型：大局出发，整体思考，明确求量还是求率，这是第一步，也决定着思路。如“4米长的绳子平均剪成5段，每段长多少米？每段占全长的几分之几？”这类题目从五年级下册开始，几乎每张测试题都会出现类似题目，但总有25%的学生混淆不清。因此，重视对问题种类的分析能有效提高正确率。求量的平均数问题，必须找准总量和平均分的份数；求率的每份占总数的几分之几，只要找准平均分的份数就可以，都把总量看作单位“1”，一份就是几分之一，两份就是几分之二。
2.明确基本的关系式。基本的思考方式也是解决任何难题的保险锁，往往可以一变应万变。如从五六年级测试题来看，六年级学生都是应用基本数量关系是来思考的，0.8米÷4米=1/5。五年级学生喜欢由份总法思考的，1÷5=1/5。对于典型的“求一段的平均长度”的求量的关系式，应该让学生明确：一段绳子的总米数÷平均分成的段数=每段的米数。同样道理，除以人数，才会变成每人的数量，除以天数，才会是每天的量，以此类推，求每份数的量一定是除以份数后才会得到每份数的量。同样如典型的“每段占全长的几分之几”，这是求率分数题。需要两个比较量的单位统一后才能相除。要么是“1段的米数÷全长的米数=每段占全长的几分之几”；要么是“1段÷全部的段数=每段占全长的几分之几”。
3.熟悉一些变式题。“一个数是另一个数的几分之几”有三种类型。①基本式：“每段占全长的几分之几”，平均分成几段，一段就就是几分之一，二段就是几分之二，与单位“1”量的多少无关,正确率为70%左右。②具体量式：“1段是4米的几分之几？”正确率只有30%左右。需要用建模的意识，重视用基本关系思维，注意统一单位。其基本关系式：1段数÷总段数，或者米数÷总米数。还可以份总式来理解：4米就是全长，所以1段是4米的几分之几就是每段占全长的几分之几。③混合式：每段的长度占1米的几分之几？正确率只有35%。基本关系式：1段的米数÷1米，或者从分数的意义上理解：1段是4/5米，那么1段的长度是1米的4/5。
4.积累一些直观感受。采取了图示法、操作法等在直观中感受并加深印象。
如上一边画图，一边慢声描述：“4米长的钢筋平均截成5段，求一段是多少米？用除法”， 4÷5=4/5（米）。
5.注重反思，促进融会贯通。荷兰著名数学家弗赖登塔尔曾指出：“反思是数学思维活动的核心和动力。”通过反思，能够深化对问题的理解，优化思维过程，揭示问题本质，探索一般规律；通过反思，可以沟通知识间的相互联系，从而促进知识的同化和迁移，产生新的发现。如 “每段的长度是1米的几分之几？”，可以有两种思路：基本式和份总式，让学生讲讲各自的思路，都能殊途同归，促进知识的融会贯通。另外，老师可以用将错就错法，让学生讲讲错误答案的思路，从而促进其反思，提高辨析能力，其效果也是非常有效的。
6.持之以恒培养学习习惯。经常听老师说，学生不会读题、不会分析、不会转化。其实这些都是学习习惯不好造成的。为此，教师要重视审题习惯的培养，通过咬文嚼字的慢读审题，圈点关键字句，强化易错点，清晰数量关系等方法，一步一个脚印，做好学习习惯的培养，这也是分数应用题有效教学的保障。