首页 -> 2008年第6期
让学生感受数学美
作者：赵秀明
一、挖掘数学的对称美
对称美是数学美的重要组成部分，对称美表现在数学的各个方面。如轴对称、中心对称、对称多项式等，从奇偶性或可分解性上区分，数也可以视为对称，从运算关系角度看，互逆运算也可看为对称关系，“共轭”概念也蕴含着“对称”性，“对偶”关系也可视为“对称”的一种形式。自然对数的产生也是因为受到常用对数的真数与对数的增长不对称（匀称）性的启发而产生的。比如正方形既是轴对称图形（以过对边中点的直线为轴），又是中心对称图形（以对角线的交点为对称中心）。
在几何图形中也存在着对称美。例如著名的黄金分割，它揭示了一种对称美的线段的比例关系，它已广泛应用在建筑设计、美术、音乐、艺术等方面，在工厂里也有普遍的应用，如“优选法”中常用的“0.618”法就是黄金分割和一种应用。在学习二次曲线时让学生感受几何图形的对称美；学习函数时感受对称美，偶函数的图象是以Y轴为对称轴的轴对称图形，奇函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形。
毕达哥拉斯有句名言：“一切立体图形中最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形”。圆和球是几何中对称美的杰出代表，圆是关于圆心对称，也是关于过圆心的任意一条直线对称的。球形既是关于点对称，又是关于线对称，还是面对称的。由于几何图形中的点对称、线对称、面对称，才构成了美丽的图案，精美的建筑，巧夺天工的生活世界，给我们的生活带来了美的享受。几何中有对称美，代数中也存在着对称美，sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ也体现出了对称美。充分挖掘数学中的这些美的东西，激发学生的学习兴趣，把学生的学习过程变成一种挖掘美的过程。
二、挖掘数学的简洁美
简洁性是美的特征，也是数学美的基本内容。数学的简洁美具有形式简洁、秩序、规整和高度统一的特点，还具有数学规律的普遍性和应用的广泛性。例如，众所周知的三角形、平行四边形、梯形的面积公式，形式简洁规整，应用广泛普遍。在梯形的面积公式s=1/2（a＋b）h（a为上底，b为下底，h为高）中，当a=0时变成三角形的面积公式；当a=b时，变成平形四边形的面积公式。这种既有区别又有联系、既对立又统一、从量变到质变的辩证方法在数学中处处可见。数学的特点决定了数学形式的简单性，无论多么抽象的概念，都可以用简单的数学式子加以表示，然后反过来解释更多的自然现象，这正是数学的威力，也是数学美的基本内容。例如函数的概念，定义叙述冗长，若用记号Y=F（X）表示Y是X的函数就简单多了。由此可知数学符号简化了复杂的数学理论。数学简洁美还表现在思维方法的灵活性、巧妙性，使问题变得简洁明快。
三、挖掘数学的奇异美
培根说：“美在于奇特而令人惊异”。奇异性是数学美的一个重要特征。奇异性包括两个方面：一是奇妙，二是变异。变异是数学理论拓广或统一性遭到破坏后，产生新方法，新思想，新概念，新理论的起点。
数学中的奇异美表现在证法的奇异性。如反证法就是奇异美的典型。利用反例来说明命题的错误。这是运用数学理论来判断例题正确性的一种常见的做法。 数学中的奇异美还表现在命题的结论上。有的命题会得到意想不到的结论，比如人造卫星、慧星、行星由于运动的速度不同，它们的轨道可能是椭圆、双曲线、抛物线，这几种曲线的定义如下：到定点的距离与它到定直线的距离之比是常数e的点的轨迹。当e＜1时是椭圆，当e=1时是抛物线，当e＞1时是双曲线；常数e从0.999到1，又到0.001变化非常小，但却形成了不同的曲线。再比如，欧拉发现的复数z=cosθ+isinθ=e（或i），当θ=π时得到e十1（或ie）=0把五个重要的特殊的数0、1、π、e、i巧妙地联系在一起。函数f（z）=x＋yi在复平面内处处连续却处处不可导这一反例的构思多么绝妙！诸如此类，好似天工巧设，出神入化，给人一种奇异的美感。
四、挖掘数学的统一美与和谐美
统一是数学内涵的重要特征。统一美表现在数学的结构上，成为数学美的基本源泉。将形态各异的圆锥曲线统一到一个定义形式，一个产生方法，一个方程形式。再比如将三角函数的公式统一到万能公式。这些都体现了数学的统一美。
各种自然形态，特别是动植物的生态以及人类的许多造物形态都有蕴含丰富的数学关系，有丰富的对称美、和谐美。作为反映和研究客观规律的数学科学，集中反映了这种美的特征。数学美的和谐性是指数学内容与结构系统的协调完备和数学所表现出的均衡对称。
数学是美的，人的爱美天性在青少年时期表现尤为突出。数学教师理应抓住这个最佳时期，不失时机地向学生揭示数学之美，进行审美教育，充分发挥数学的美育功能。