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初中奥数竞赛内容和审题思想指导浅论
作者：许波平
教学大纲中所列的内容是教学的内容，当然也是竞赛的内容。除了这些内容之外，在初中数学竞赛大纲也适当地加入了一些层次较高的内容。竞赛大纲所列的课外讲授内容必须充分考虑学生的实际情况，分阶段、分层次让学生逐步去掌握，并且要贯彻“少而精”的原则，处理好普及与提高的关系，这样才能加强基础，不断提高。初中数学竞赛大纲具体内容包括：
1．实数
十进制整数及表示方法。整除性，被2、3、4、5、8、9、11等数整除的判定,素数和合数，最大公约数与最小公倍数,奇数和偶数，奇偶性分析,带余除法和利用余数分类,完全平方数,因数分解的表示法，约数个数的计算,有理数的表示法，有理数四则运算的封闭性。
2．代数式
综合除法、余式定理。拆项、添项、配方、待定系数法。部分分式。对称式和轮换对称式。
3．恒等式与恒等变形
恒等式，恒等变形。整式、分式、根式的恒等变形。 恒等式的证明。
4．方程和不等式
含字母系数的一元一次、二次方程的解法。一元二次方程根的分布。
含绝对值的一元一次、二次方程的解法。
含字母系数的一元一次不等式的解法，一元一次不等式的解法。
含绝对值的一元一次不等式。
简单的一次不定方程。列方程（组）解应用题。
5．函数
y＝|ax＋b|,y＝| ax2＋bx＋c |及 y＝ax2＋bx＋c 的图像和性质。 二次函数在给定区间上的最值。简单分式函数的最值，含字母系数的二次函数。
6．逻辑推理问题
抽屉原则（概念），分割图形造抽屉、按同余类造抽屉、利用染色造抽屉。
简单的组合问题。逻辑推理问题，反证法。 简单的极端原理。简单的枚举法。
7．几何
四种命题及其关系。
三角形的不等关系,同一个三角形中的边角不等关系,不同三角形中的边角不等关系,面积及等积变换,三角形的心（内心、外心、垂心、重心）及其性质。
二、初中奥数审题思想指导
竞赛数学的解题思想方法指导在竞赛数学和竞赛数学教育中扮演着非比寻常重要的角色，而关于审题思想指导更显得尤为重要。
1．整体处理的思想
一道数学题可以说是一个系统，由条件和问题组成，条件通常分成几个部分独立开来。中国有句俗话：“人多力量大。”人多了，力量的总和自然也就大了，但是如果人的力气都没有用到同一个方向，那么结果往往不如人所愿。对于解题也是同样，条件多了，问题应该会比较容易解决，但是前提是合理地利用条件。如果条件之间互相独立而毫无联系，那么对于我们审题来说是一种麻烦，更不用说是解题了。所以我们在审题的时候就应该注意对题目整体结构的分析处理，从整体的性质出发去把握各个部分，这种处理思想我们称之为整体处理的思想。也就是说可以通过整体的性质来确定部分的性质。在日常生活中到处可见整体处理的思想。例如：在日常生活中可能会遇到这样的麻烦：不小心将麦子和豆子混在了一起，要把它们重新分开，该怎么办？有两种方法：第一种是拣豆子，因为豆子颗粒较大，可以通过逐个拣的方法，把两者分离开来；第二种是筛麦子，即选择一个筛孔大小恰当（只有麦子可以通过）的筛子，将混合物筛一遍，这样也可以将两者分开。这两种方法结果是相同的，区别就在于后者要简便得多，取决于两者在思想方法上的差别，拣豆子的方法是着眼于个体，通过逐一的个别处理来解决问题；而筛麦子的方法是着眼于整体，根据将两者分开的目标，并且抓住两者之间本质上的区别：两者的颗粒大小不一，而采取了整体的处理方法。
在竞赛数学里，整体处理的思想应用也非常的广泛，例如有这么一道竞赛题：
[例1]在△ABC的内部有n个点，以这n＋3个点为顶点，将三角形分割成互不重叠的三角形，共可得几个三角形？
分析：由于对△ABC的分割未必是唯一的，因此，直接计数比较困难。当我们取n＝1，2，3……可以猜测一共得到小三角形2n＋1个。这里如果我们可以用整体处理的方法来解决的话，就可以找到解题的办法。
解：设三角形分割得到x个小三角形，由于三角形的内角和是180度，所以x个三角形的内角和 S 等于：S＝πx，另外我们注意到从整体来看，这x个三角形的内角和S是由两部分角组成的，一是在顶点A、B、C处，二是顶点在三角形内部的 个点而且互不重叠，每一个点都对应一个360度的周角，所以内角和S＝2πn＋π。
综上所述可以得到：πx＝2πn＋π,
所以x＝2n＋1。
从上面这个例子我们可以看出：整体处理的思想方法可以帮助我们发掘问题的内在特征，联合各个条件，使得每一个条件的作用力都朝着解决问题的方向使，从而使得所研究的问题得以顺利解决。
下面再举个从整体上来研究问题的例子：
[例2]有三堆玻璃珠，每次操作的规则如下：可以从每堆中取走同样数目的玻璃珠（不同次的操作，取走的玻璃珠数目可以不同），或者可以将其中任一堆（如果玻璃珠的数目是偶数）的一半玻璃珠移到另一堆上。开始时，第一堆有玻璃珠1989个，第二堆有989个，第三堆有89个。
请问能否使得：
（1）某两堆玻璃珠一个不剩？
（2）三堆玻璃珠都一个不剩？
解：（1）按以下步骤取走玻璃珠可以使得某两堆玻璃珠一个不剩：
首先，同时从三堆里分别取走89个玻璃珠：
（1989，989，89）→（1900，900，0）；
然后，将有900个玻璃珠的那堆分一半给没有玻璃珠的那堆：
（1900，900，0）→（1900，450，450）；
最后，同时从三堆里分别取走450个玻璃珠：
（1900，450，450）→（1450，0，0）。
经过这三次操作达到要求。
（2）三堆玻璃珠的总数为1989＋989＋89＝3067，且3067除以3余数为1，所得到的余数经过操作后是不改变的，所以如果按题设中的要求来操作是不能将这三堆玻璃珠取光的。
说明：（1）要使得两堆玻璃珠一个不剩而且开始时的数量是不同的，必须是经过若干次操作后，有两堆的玻璃珠数目相同，而要是某两堆数目相同又需要将某一堆取完，然后再从另两堆的其中一堆中分一半给它即可；（2）需要整体来考虑三堆玻璃珠的总数，要使得三堆玻璃珠一个不剩，则总是应该是3的倍数，因为每操作一次取走的个数均为3的倍数，但是玻璃珠的总数并不是3的倍数，所以结论是不能实现的。
2．等量代换的思想
等量代换顾名思义就是用相等的量来代换原来的量，使原问题得以解决的思想方法。通过改变原命题的陈述或者改变观察角度，使之更为我们所熟悉，从而达到解题的目的。我们还是从大家熟悉的一个故事谈起，来看看它的具体应用。
在三国时期，孙权送给曹操一只大象。曹操要大家称称大象的重量，群臣束手无策。曹操之子曹冲想出一个好办法：先把大象放在一只大船上，在船舷上沿着水面画上一个标记，然后再把大象换成一堆石头，使船下沉到标记处。然后将石头的总重量称出来就得到了大象的重量。这种方法在数学上就是“等量代换”。
运用数学元素的等量代换来解题的方法叫做换元法。换元法就是用一个新的字母或者新的数学式去代换原字母或者原数学式，利用恒等变形，将原问题由难化为易，由繁化为简，由隐蔽化为显然的一种等量代换的解题方法。
在竞赛数学里，等量代换的思想应用也非常的广泛，例如有这么一道竞赛题：
例1、已知 ＋ ＋ ＝1， ＋ ＋ ＝0，求证： ＋ ＋ ＝1。证明：设 ＝ ， ＝， ＝
，则： ＋ ＋ ＝1， ＋ ＋ ＝0
由上式得： ＋＋＝0
从而：＋＋＝ 2＋ 2＋ 2＝(＋＋)2－2(＋＋ )＝1
说明：由于已知条件和问题表达式比较复杂，所以我们可以利用换元法将其化简，再利用(＋＋ )2＝
2 ＋ 2 ＋2＋2( ＋ ＋ )关系式得到结果。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
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