首页 -> 2008年第12期
矩阵方程Ｘ＋Ａ*Ｘ-2Ａ＝Ｉ的迭代正定解
作者：张乃千
其中（ 为m×m复矩阵集合），I为m×m单位矩阵，X为未知矩阵。这类非线性矩阵方程常出现在解决下述线性方程系统中 （2）
矩阵B来源于椭圆型微分方程有限差分逼近中。例如：，则B可记为 ，其中 。
为求解方程（2），我们可对进行LU分解
在分解中必存在矩阵X为矩阵方程 的正定解。这种类型的矩阵方程及其他相类似的方程存在于许多不同的领域当中，包括控制理论，梯形网络分析，动态规划，统计学和椭圆型偏微分方程的差分方法求解等多个领域，具有很重要的研究意义。已有很多学者对此方程进行了研究。研究非线性矩阵方程的Hermite正定解。给出这类矩阵方程正定解存在的充分条件，并且提出一种求解的迭代方法。
对于Hermite矩阵X和Y，文中X≥Y表示X-Y是半正定的，X＞Y表示X-Y是正定的，对于方阵A，表示A的共轭转置， 表示谱范数。
在此特别说明本文中解均指Hermite正定解。
对于非线性矩阵方程（1）的求解，一般考虑采用迭代求解法。
方法Ⅰ
在[4]中已经对此迭代方法进行了研究，结论是：迭代产生的序列为单调减少的，收敛于矩阵方程（1）的解，并且指出此序列的收敛性为线性收敛。
方法Ⅱ
[1]对此迭代方法也做出了研究，指出：迭代序列单调减少，线性收敛于方程（1）的正定解。
方法Ⅲ
在[7]中已证得迭代序列收敛于矩阵方程（1）。此方法的优点在于：计算过程中避免出现求矩阵逆，因而大大减少了计算量。然而对于此迭代方法的收敛性却很难进行分析。
众所周知，线性收敛的速度比较慢，如果能够构造二次收敛的迭代方法，其收敛速度明显要比线性收敛速度快得多。已知若采用牛顿方法，其收敛性是二次的，所以可考虑利用牛顿法构造迭代矩阵，使其收敛速度加快。
令
则
故
因此，算子 在X处Frechet可微
为在X处对于E的Frechet微分。在此基础上即可构造牛顿迭代方法。
方法Ⅳ
此迭代方法采用牛顿法，对于牛顿法来说其收敛应为二次收敛，然而对于此方法的收敛性目前还没有给出系统的分析结果，其问题正在进一步解决中。
参考文献:
[1] I.G. Ivanov and S.M. El-Sayed, Properties of positive definite solution of the equation,Linear Algebra Appl.,279(1998),303-316.
[2] I.G. Ivanov, V.I. Hassnov and B.V. Mincher, On matrix equation, Linear Algebra Appl.,326(2001),27-44.
[3] Yuhai Zhang, On Hermitian positive definite solutions of matrix equation,
Linear Algebra Appl.,372(2003),295-304.
[4] Salah M. El-Sayed, Asmaa M. Al-Dbiban, On positive definite solutions of the nonlinear matrix equation, Applied Mathematics and Computation,151(2004),533-541.
[5] V.Hasanov, Positive definite solutions of the matrix equation, Linear Algebra Appl.,404(2005)166-182.
[6] I.C.M.Ran, M.C.B.Reurings, On the nonlinear matrix equation :solution and perturbation theory, Linear Algebra Appl.,346(2002)15-26.
[7] Zhan X. Computing the Extremal Positive Definite Solutions of a Matrix Equation. SIAM J Sci Compute, 1996,17:167-1174
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
本文为全文原貌 请先安装PDF浏览器
原版全文