首页 -> 2007年第6期
现代数学基础教学的若干认识问题
作者：曹之江
关键词：现代数学教学；超现实性；认知规律；价值观；美学内蕴
在当今的大学里，数学几乎已经进入了一切专业的课堂，其作为基础课程的地位，日重一日。然而数学在教学上的困难，却并不因为其重要性和地位的加重而有所改善。几十年来，不少有志的同仁在实践上作出了许多改革尝试，企图改变现状，但均收效甚微。看来数学教学所呈现的，并不只是技术和方法上的问题，而有其深刻的科学和文化上的渊源，需要我们去作认真的思索与解析。
一、数学的超现实性
所谓学习，从心理科学上来看，乃是人的大脑的一种认知活动。因而说数学难学，就意味着在数学认知上有不同寻常的难度。为什么会有这个难度?为了探究其缘故，并寻求克服的途径，我们须要考察一下这个认知过程中的客体——数学。现代抽象数学的任何分支，其内容是完全形式化的，这就是说其符号与语言，没有任何现实的物质含义，这就使得数学呈现出一种“超现实”的品格。而就是这个“超现实性”，使得人们弄不清数学是从哪里来的?有什么用?它究竟是一种什么“学问”?当这些疑问得不到明白的解答，人们在心理上就会形成一种很大的阻抗，阻滞数学知识的灌注和吸收。这一切说明做一名数学教师，不是仅仅照本宣科去讲清楚数学推理就够了，他需要自己先去弄明白上面的道理，去给学生疏通数学认知的通道。
现再回过头看数学的“超现实性”。数学不是从天上掉下来的，它的任何分支都是更初级的内容演化发展的结果，追本溯源，它们都是自现实发端的有源之水，因此数学不可能是真正“超现实”的。它之所以具有“超现实”的形式，事实上，这是由于它的极端的抽象性，即它对物质的无限高度的概括性，这就造成了它失去了一切物质属性。一名数学教师，应当认识并探索数学的哲学内蕴，这是一种既与数学相关又在数学之外的学问，我们应当把这种学问与数学课程内容有机地调和在一起，才可以使数学课变得有生气和可理解。
二、数学的认知规律
现在来考虑数学认知过程的另一方面，即人的大脑——认知过程中的主体，在接受数学这种特殊的知识时的表现。显然这个过程是不同寻常、非常复杂的，然而却仍然遵循着严格的规律性，这里称之为数学的认知规律。我们的教学行为，若符合这种规律性，就会有效果，若不符合这种规律性，就会事倍功半。在实践中，我们看到有的人，在讲授抽象数学时，自如而游刃有余，可说是把握了数学教学的“门道”，这事实上也是表明他们是自觉或不自觉地掌握了数学的认知规律。因此，认识并掌握数学的认知规律，是提倡并实施科学的数学教学的基础，也是摆脱数学难教难学这一困惑的正确途径。那么，我们怎样去学习掌握数学的认知规律呢?数学的认知，虽然是一个非常现实且有实践价值的课题，但是它同时涉及现代数学和现代心理学两门大学问，因此据笔者所知，迄今尚未见有人对之进行过系统而有成效的研究，这是很遗憾的。另一方面，认知规律属于精神的或认识领域中的问题，与我们所熟悉的物质运动规律是完全迥异的，它的现象间的因果联系十分复杂而多元，更不能量化，因此不可能指望它能够像物质的机械运动那样，写出几条定律公式来。上面所述说明了，要把握它，主要还须靠我们自己在实践中去思索、揣摩和总结，至少在当前是如此。
三、数学的价值观和教学主导思想
数学教学，除了要研究它的认知过程，以实施科学的数学教学这个问题之外，尚涉及数学的价值观或教学的主导思想，即主要学什么和怎么学的问题，这是一个教学的核心问题，每一位从教的教师，不管他是否自觉到，都必然具有并用以指导自己的教学行为的思想。这个思想显示出的价值观念，对于数学这样一门抽象的理论学科，尤显突出。当今的数学，已是一个庞大无边的理论体系，它是人类千百年来智慧的结晶，是今天人们汲取知识与智慧的无尽源泉。数学就似一座宝山，一个人有幸进入这个宝山，立刻就会产生一个问题，他应当检取些什么，才是最有价值的?当然他倘使不识宝，就可能“入宝山而空返”。由于数学的内容，都是一些空泛玄虚的符号，完全不是实物，因此，它们究竟是什么“宝”，价值是什么?这种鉴别力，即前所提到的“主导思想”，就不是一件简单的事情。
一般认为，教学就是知识的传输，因此数学教学，就是数学知识的传输。然而“数学知识”是一个很大的范畴，现在有的人却把它理解得十分狭窄，认为它们只是指一些“有用”的公式、实例之类，如微积分中的计算体积面积的公式等。这种理解就把数学课变成了一种物算的“雕虫小技”。数学本来就是一种理性的学问，它的丰富的思想、方法是不是应该算为“数学知识”传输给学生?现代的教育学，更视教学不仅是知识的传输，且也是能力(实验、理性思维……等)的培育，而能力的方面甚至比知识方面更重要。若是按这种标准看问题，那么对数学教学而言，这“能力”又是指的什么呢?现在数学界中很多人有一个共识：学习数学，死的公式、教条是无关宏旨的，重要的是要学会从现实中抽象出数学的能力；发展并完善数学的理论体系的能力；和将数学作用于实际的能力，而为了达到这个目的，我们就须要在教学中坚持严格的数学逻辑演绎思维的训练。我们可以见到有一些教数学的人，让学生背了一堆名词术语而一无所能，可谓入数学的宝山而空返。看来，数学教学中的价值观问题，也是一种不寻常的学问，它涉及的不仅仅是数学功底本身，还关联到自然科学的知识水平和哲学的见地。
四、数学的美学内蕴
谈到数学教学，我们就不能不提到数学的美学内蕴。不少人把数学看成为枯燥乏味的代名词，避之唯恐不及，这是极大的误解!这有点像中国古代一位楚王，把和氏璧当成顽石的故事。和氏璧看去是一块顽石，但经过解剖、雕琢以后，就成为天下美玉中的极品。数学，作为人类文明与智慧的标识，从它产生之日起，就以其固有的品格——结构的无比严密精巧、论理的美妙绝伦以及内容上惊人的统一性等等，令人叹为观止。许多大家把数学直称为一种艺术。人们或许会问，数学是一种没有形体的东西，它的“美”又是什么呢?数学的美，是一种不同寻常的、另一种性质的形态感受，是一种理性主义的结构美。它并不是天赋的自然造型，不是人人能够鉴赏的。数学的美学内蕴，也许是数学教学所涉及的最深层次、最本质的一个问题了。一个从事数学教学的人，不仅要认识到数学的哲学内蕴，也应认识到数学的美学内蕴，这是他得以实施数学优教的重要基础。一个数学教师，不仅要从认识上讲清数学的源流，而且要能从感情上将自己对数学的美学感受，随时传注给学生。
综上我们分析了数学教学的四个方面的问题：数学的超现实性；数学的认知规律；数学的价值观和教学主导思想；数学的美学内蕴等。由上简述可见，数学的教学，本身就是一宗具有相当深刻性的学术，并具有一定的综合性，更重要的是它有很强的现实针对性和兴趣。本文的宗旨就是希望与广大的读者来共同探索这些问题。
[责任编辑：文和平]