首页 -> 2007年第9期

开展创造性教学，培养创新学习能力

作者：王莲招

　　创造性教学是指在教学过程中把握创造活动的一般规律，引导学生以创造性的态度，运用创造性思维充分发挥自身的潜力来吸收已有文化成果，探索未知的问题所采取的各种教学方法。本文以《等比数列》一单元为例，谈谈开展创造性教学的情况。
　　
　　（一）教材
　　
　　本节选用《数学》基础版（语文出版社出版）第二册第七章，它是安排在等差数列之后的又一常见、应用很广的特殊数列。这两种数列是本章的重点。本节教材分为四部分：通过实例给出等比数列的定义；用不完全归纳法推导通项公式；介绍等比中项概念和公式；用“错位相减法”推导出前n项和公式。其中通项公式和前n项和公式有广泛的重要实际意义，例如银行本利和（复利）的计算是以它为理论基础。所以两个公式是本节的重点。
　　
　　（二）教学方法设计
　　
　　1.“以学生为主体”让学生充分参与教学。按大纲的要求及建议，本节可仿照等差数列作类似的教学安排，以讲授法开展教学。但老调重弹不利于调动学生的学习积极性，挖掘学生的学习潜能。为此，针对教材安排合理、深浅适度、容易理解等特点，改“老师讲、学生听”为“学生讲、老师听”，引导学生在复习旧知识基础上，根据书本提供内容选择各自用独特的有效方法和手段自行去探索收集等比数列的有关规律、学习发问、质疑。特别是通项公式，通过先观察实例后总结交流的方式，让学生领悟由特殊到一般、由具体到抽象的科学方法。充分发挥学生的个人潜能和主动探索精神，培养独立获取新知识、创新学习的能力。
　　2．“以老师为主导”提供创新情景，激发创新意识。课前提出学习目标，引导学生对比等差数列，探索新课内容。目标如下：
　　（1）知识目标：说出等比数列的定义，熟记通项公式和前n项和公式；
　　（2）技能目标：提高观察、分析、想象、归纳能力和应用能力；
　　（3）态度目标：培养主动精神，增强创新学习能力。
　　课堂上鼓励学生提出问题，交流看法、学习心得。先考察学生是否读懂并理解等比数列新知识，能否根据新的知识作进一步演算或推出创新性内容情况。在学生充分自由发表个人见解后，对照等差数列的知识叙述等比数列的知识点，同时针对等比数列自身的特点加以引申，纵向加深，突出等比数列与等差数列的不同之处。由于本章节公式易于混淆、错记。如a_n=a₁q(n-1)容易记为a_n=a₁qn，为此，设置问题：类比a_n=a₁+(n-1)d 和a_n=a₁q(n-1)公式结构，找出异同地方。引导学生建立公式间的联系，这样可以使学生更深入地理解新知识、记忆新公式，应用时易于联想，也让学生感受老师的创造过程，增强求知欲。
　　课堂训练：例题讲解和习题练习是给学生提供巩固知识、培养创新能力的平台。在等比数列中，两个重要公式联系五个基本量a₁，a_n，n，q,s_n，因此可“知三求二”。通过一题多问、一题多解、一题多变、变题训练、精讲点拨、培养学生的逆向思维和发散思维。
　　课后反思：本节的重要公式只有两个，但解决等比数列问题中蕴涵丰富数学思想如函数思想、数形结合思想、方程（组）思想、整体思想、分类讨论思想、化归思想，转化思想等。求和的方法也有多种：反序相加法、错位相减法、拆项法、等价转化法等。及时引导学生进行数学思想方法的总结，使学生能综合灵活地应用所学的数学知识、思想和方法，进行独立的思考、探索和研究，创造性地解决问题，可为今后的创新学习提供坚实的基础。此外，引导学生把公式进行推广、探寻等比数列的其它有价值实用性质，如①a_n=a_m·qn-m②在等比数列中，若n+m=p+q，则a_n·a_m=ap·aq ③等比数列中抽取等距离的项的和还是等比数列（这些和都不为零）。通过推广公式、引申新知识，拓展学生的知识面，激发学生的好奇心和培养创新能力。最后，引导学生对本节课进行总结，列表比较等差数列和等比数列，让学生将获得的知识进一步条理化、系统化，培养学生的归纳总结能力及练习后进行再认识的能力。
　　3．加强等比数列知识应用，开拓创新意识的空间。解答数学应用问题，是分析问题和解决问题的能力的高层次表现，能反映出创新意识和实践能力。等比数列知识有广泛的实用背景，如银行利息计算问题、产量问题、人口增长问题等，因此，有必要增加适量的应用题，丰富学生的想象力，增强创新应用意识。
　　
　　（三）教学过程
　　
　　1.复习思考：等差数列的定义，有关公式（中项公式、通项公式、前n项和公式）及公式变形形式，求前n项和的思路等（设计两种数列对照表）。
　　2.创设情景：
　　[自学引导]学生上台交流自学情况，充分展示学生创新学习思路，其它学生可以围绕数列问题自由提出疑问，发表各自的看法和新见解。
　　[引例]国王下棋子故事。这里通过趣味性的问题，引入等比数列定义，提高学生的学习兴趣。
　　3.探究新课：在学生对等比数列有了初步了解后，结合引例，针对学生认知不足地方及时补充、纠正、总结、加深，提出问题，引导学生思考，并精讲多练，及时巩固，及时反馈，具体做法如下：
　　（1）指出定义中的关健字，讨论公比q取不同值（q=1，q>1，q<1）时数列的特点，并类比等差数列的定义，指出等比数列定义里隐含的条件(a_n≠0、q≠0)及项与公比正负号的关系。
　　（2）[例题]观察指出哪些数列是等比数列，指出公比q和通项a_n？通过分析数列的特点用不完全法纳归法探究出通项公式a_n=a₁q(n-1)。并写出公式的变形形式。
　　[例题巩固]①应用通项公式计算 ，知三求一；②证明：在等比数列中，若n+m=p+q，则 a_n·a_m=ap·aq。
　　[思考]①若公式中的a₁ 变为 a₂，a₃，……a_m，则公式如何变化？②在等比数列中抽取等距离的项的和是否还是等比数列？（这些和都不为零）；③与首末两项“等距离”的两项积是否等于首末两项的积？
　　（3）由练习总结引入等比中项的概念及等比中项公式并点评典例，通过一题多解，优选最佳方法。
　　[典例剖析]如果成等比数列的三个数的和为7，积为8，求这三个数。此题解法不只一种，引导学生联想等差数列的三个数常设为a-d，a，a+d，而将此题三数设为a/d，a，ad，掌握这种简捷的方法。
　　（4）通过类比点拨等差数列和等比数列前n项和的推导公式思路的相同之处：消去中间项。引导学生把和式s_n=a₁+a₁q+a₁q₂+…+a₁q(n-1)两边巧妙乘以q 后再与原式两边分别相减，用“错位相减法”推导出前n项和公式。
　　4.巩固新课（典例剖析）。
　　计算题：已知a₁，a_n，n，q，s_n中三个量求另外二个量(解法思路：综合运用两个公式S_n=a₁(1-qⁿ/1-q))。
　　应用题：人口问题、增产量问题、本利和（复利）计算问题并适当改变条件让学生编写新应用题。
　　5.小结：填写等差数列和等比数列的对照表。
　　[学后反思]数学思想和方法总结。
　　6.布置作业。