首页 -> 2008年第6期
非均匀Ｂ样条曲面算法研究
作者：岳志强 柴炜嘉
[关键词]非均匀B样条 B样条曲面 B样条基函数
（一）Ｂ样条曲面
给定(m+1)*(n+1)个控制顶点di,j（i＝0，1...，m；j=0，1...，n）的阵列，构成一张控制网格。分别给定参数u与v的次数k与l，加上两个节点矢量U ＝[u0，u1，…，um+k+1]和V＝[v0，v1，…vn+l+1]，就可得一张k×l次张量积B样条曲面：
p（u，v）＝di,jNi,k（u）Nj,l（v），uk≤u≤um＋1，vl≤v≤vn＋1 （1）
1.B样条基Ni,k(u)（i＝0，1..., m ）和Nj,l(v)（j=0，1…，n）的计算法
Ni,k(u)的双下标中第二下标k表示次数，第一下标i表示符号。从该递推公式中可以看出，若确定第i个Ni,k(u)，需用到ui，ui+1，……，ui+k＋1共k＋2个节点。区间[ui，ui+k＋1]为Ni,k(u)的支承区间。Ni,k(u)的第一下标等于其支撑区间左端节点的下标，即表示该B样条在参数u轴上的位置。方程（1）中要用到m＋1个k次B样条基函数Ni,k(u) (i＝0，1…，m)，每一个Ni,k(u)都是一个k次B样条。它们的支撑区间所含节点的并集就是定义这组B样条基的节点矢量U=[u0，u1，…，um+k+1]。
2.曲面的定义域。曲面可以认为是在u方向上看就是由一条条B样条曲线和v方向的一条条B样条曲线组成，所以考虑曲面的定义域可以分别考虑在u和v方向曲线的定义域。
假设v方向为一固定值，则方程（1）相当一个B样条曲线方程
P（u）＝ djNj,k（u） u ∈[ui,ui+1] （其中j为一固定值）
该式表明了B样条曲线的局部性的一个方面，即k次B样条曲线上定义域参数为u∈[ui，ui+1]的一点p(u)至多域k＋1个顶点dj（j＝i－k，i-k+1,…i）有关。
给定m＋1个顶点控制顶点di（i＝0，1，…m），相应要m＋1个B样条基函数Ni,k(u)（i＝0，1，…m），以定义一条k次B样条曲线。这个m＋1个k次B样条有节点矢量U[uo，u1，…um+k+1]所决定。然而并不是这节点矢量包含的m＋k＋1个区间都在该曲线的定义域内。这是因为m＋1个顶点中最前的k＋1个顶点di（i＝0，1，…，k）定义了样条曲线的首段曲线，其定义区间为u∈[uk，uk+1]；往后错一个顶点，di（i＝1，2，…，k+1）那k＋1个顶点定义了u∈[uk+1，uk+2]……最后k＋1个顶点di（i＝m－k，m－k－1，…，m）定义了末端曲线，其定义区间为u∈[um，um＋1].得到了k次B样条曲线的定义域为u∈[uk，um+1]。
同理，在v方向上曲线的定义域为v∈[vk，vn+1]，整个曲面的定义域为：uk≤u≤um＋1 ， vl≤v≤vn＋1
3.节点矢量的计算。用方程（1）计算曲面时，仅给出控制顶点阵和选定次数还是不构的，还要确定两个节点矢量。如果沿任一参数方向(u方向，v方向)，选择了均匀、准均匀、分片贝齐尔这三种划分类型，可以说沿该参数方向的节点矢量也就确定下来。但最适合实际的非均匀B样条曲面类型，若尚未确定节点矢量，就需要计算节点矢量。由控制多边形决定矢量节点的方法如下:
令n+1个控制的点控制多边形的各边长依次为li＝|di-di-l|(i=1，2，…，n)。总的边长为L=。节点矢量分别确定如下：
（1）偶次B样条曲线的节点矢量。里森费尔德假定偶次B样条曲线的所有m-k各分段接点对应于控制多边形上除两端各k/2条边外其余m－k条边的中点。将其展直，规范化可得：
二次B样条曲线的节点矢量：
U=[0，0，0，，，…，
，1，1，1]
四次B样条曲线的节点矢量为：
U=[0，0，0，0，0，， ，…， ，1，1，1，1，1]
类似地可推知高偶（k次）B样条曲线的节点矢量：
U＝[ 0，0，…0， ， ，…，
1，1，..，1]
其中0有k＋1个，1有k＋1个。可见每提高两次，第一与最后两个分段连接点都向内移动一条边。
（2）奇次B样条曲线的节点矢量。假定样条曲线的n－k个分段连接点对应于控制多边形上除两端个（k＋1）/2个顶点外其余的n－k个控制顶点。将其展直，规范化可得三次B样条曲线的节点矢量：
U[0，0，0，0， ，，，1，1，1，1]
类似可得高奇次（k次）B样条曲线的节点矢量：
U=[0，0，0，…，0，， ，…， ，1，1，1，…，1]其中有k＋1个0，k+1个1。
B样条曲面沿u方向上有多个控制多边形，可以选出沿u方向的诸多控制多边形中带有代表性的，然后由控制多边形生成节点矢量。同理可得v方向的节点矢量。
4.B样条曲面上点的计算。设给定曲面定义域内一对参数值（u，v），欲求该B样条曲面收纳对应的p（u，v），可以先沿任一参数方向譬如先沿v参数方向，按如下步骤进行：以v参数值对沿v参数方向的m＋1个控制多边形执行用于计算B样条曲线上点的德布尔算法，求得m＋1个点作为中间顶点，构成中间多边形。然后，以u参数值对这中间多边形执行B样条曲线的德布尔算法，所得一点即所求该B样条曲面上的一点p（u，v）。
计算节点区间u∈[ui，ui+1]上的一组k次B样条基：Ni－k（u），Ni－k＋1，k（u），……，N
i，k(u)。它们由以下节点序列完全确定ui－k， ui-k+1，…，ui，ui+1，…，ui+k+1。于是由节点序列及区间[ui，ui+1]上的零次B样条。
若ui≤u≤ui+1
Ni,0(u)=0,
其他由公式（2）递推出该区间上的一组k次B样条基础。其中，每列首末基函数在[ui，ui+1]上都是零，去掉后是一个三角阵列，最后一列非零基函数即为所求[ui，ui+1]上的一组k次B样条基。
（二）结论
通过上文，我们明确了B样条曲面的局部性等优点。基于B样条曲面方程，通过求非均匀B样条曲线的节点矢量，计算基函数等我们可以得到B样条曲面上的任意一点从而生成B样条曲面。
参考文献:
[1]施中法.计算机辅助几何设计与非均匀有理B样条[M].北京:高等教育出版社,2001.
[2]Donald Hearn.计算机图像学[M].北京:电子工业出版社,2002.
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