首页 -> 2008年第8期
浅谈数学思维广阔性培养
作者：陈 勤
数学教学的重要目的在于培养学生的数学思维能力和应用数学解决问题的能力，而思维能力通常反映在思维品质上，它是数学思维结构中的重要部分。数学思维品质包括思维的深刻性、灵活性、独创性、敏捷性、广阔性和批判性。思维品质是评价和衡量学生思维发展水平的重要标志。因此，在数学教学中加强对学生思维品质的培养是教学工作重要的一环。
思维的广阔性是指思维活动作用范围的广泛和全面的程度。它表现为思路开阔，能全面地分析问题，多方位、多角度地思考问题，善于对数学问题的特征、差异和隐含关系等进行具体分析，做出广泛的联想，能用各种不同的方法处理和解决问题，将它推广并应用于解决类似的问题上。善于运用各种形式的发散思维来思考问题是思维开阔的重要表现。下面笔者就数学思维广阔性的培养谈谈自己的看法。
（一）一题多解
教师在讲解典型例题时要鼓励学生积极主动思考，引导学生发散思维、开阔思路。从一道题目中找出不同的切入点和突破口，运用不同的数学方法进行求解。例如：换元法既可以用来求二次函数、三角函数的值域，也可以用于不等式的化简，不等式的证明。配方法既可以用于解方程，用于因式分解，用于化简形如的根式，也可以用于证明不等式，用于求函数的极值等。实践证明，一题多解在一定程度上可以很好地吸引学生从多角度观察、思考、联想、概括并获得多种解题途径，从而开发学生的思维，使他们既开阔了视野，又提高了学习数学的兴趣。进行一题多解的同时也是思维逐步发散，不断开阔不断深化的过程。
（二）一法多用
一种数学方法，往往可以用来解释多个数学问题。了解和掌握数学方法的本质是我们解决数学问题的关键。数学方法是一种武器，只有对症下药，才能使问题迎刃而解。而且，也只有理解并熟悉了什么样的数学方法可以解决怎样的数学问题才能更好地提高我们对问题的敏感性和解题速度。例如：求证：当x≥0时， 。
在证明这道题目时，如果按一般的思路去做，我们很容易想到要去掉根号，但是我们得到的是一个非常复杂的高次不等式，这样解起来将会是十分繁杂的。但是，只要我们细观察，可以联想到这一题目的形式与均值不等式 的形式有相似之处。于是，灵活地将 化成
。我们可以更简便地解出此题。
证明：因为 =
所以= 可以由均值不等式得 ≥ 。
一法多用是对数学方法进行发散，它不仅可以扩大学生的视野，使思维开阔，而且可以提高学生的学习效率和增强学生的学习能力，从而使学生产生浓厚的学习兴趣，激发学生探索、创新的精神。
（三）细心观察题目特征，跳出思维定势
学生解答数学题，是按已经掌握的题型+方法的线型模式去进行，这虽然也是有章可循的，但会造成他们思维活动的呆滞与狭隘，容易形成思维定势，从而对某些比较特殊的题目感到束手无策。如果在解决问题时先细心观察题目的特征，然后打开思维，将所学的知识和方法融会贯通，跳出思维定势对于帮助学生解题是大有裨益的。例如：已知
。求证：。
思路1.按照一般的思路，有根号的不等式证明，我们可以用比较法，两边平方去掉根号后作差比较，再利用配方法证明。
证明：
显然，不论x取任何实数，函数f（x）的值均为非负数。因此，①当a2+b2≠0时，方程f（x）=0的判别式△≤0。即所以成立。②当a2+b2=0时原式成立。
（四）捕捉有用信息，挖掘隐含条件
例如：已知圆（x-2）2+y2=1与抛物线y2=2px（p＞0）有公共点，求p的取值范围。
很多学生一看到这道题目马上就想到两曲线有公共点的问题等价于两曲线的方程组成的方程但有实数解的问题。因此，他们这样给出以下解法：
。联系p＞0解之得 或。
不细心的同学认为上面的解法每一步都有根据，都有理，但是，以上解法是不正确的。原因在于忽略了隐含条件圆和抛物线的公共点应在圆（x-2）2+y2=1上，故公共点的横坐标应满足条件（x-2）2≤1即1≤x≤3。这个隐含条件对p的取值范围提出了限制。
正确解法应为：令
要正确地解出一道题就要紧紧抓住题目的条件信息，有些题目的条件信息有这样的特点，一部分是明显的，是题目直接给出的，一部分是隐含在条件中的。因此，善于挖掘隐含条件，把思维放广阔一点是我们正确解题的关键。
思维的广阔性要求我们首先要打好基础，善于对一些知识点进行总结。这样，当各知识点形成了一定的知识体系之后，才能更有条理地把思维放宽、放活。只有想得多，才能做到活；只有做到活，才做得深。
参考文献：
[1]张向阳.数学教学中培养学生思维的广阔性[J].Journal of Baicheng Teachers College 2001,(2).
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
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