首页 -> 2008年第8期
正弦交流电的相量图法与相量法之比较
作者：张立新
[关键词]正弦交流电 相量图法 相量法 复数
在日常生活和生产中，人们最直接接触和大量使用的电源是正弦交流电。而正弦交流电由于其大小和方向随时间不断地发生变化，使得在分析和计算时比直流电要复杂很多。对于最基本的RLC串联电路和RLC并联电路，可利用现成的推导公式进行求解（公式亦由相量图法或相量法推出）。而对一般情况时的正弦交流电路，我们就只能直接采用相量图法或相量法来求解。因此，这两种方法是学习正弦交流电必须掌握的重点知识。同时，由于要应用到较深的数学知识，它又是学习的难点，下面就它们的实际运用进行分析比较。
相量图法是指利用相量（矢量）表示正弦交流电的图解法，其中相量（矢量）的长度表示正弦交流电的有效值，其与x轴正方向的夹角（逆时针为正角）表示正弦交流电的初相位。由于该方法采用的是几何作图的方法，因而具有直观、一目了然的特点，尤其适合对问题进行定性分析。
[例1]如图电路中，端电压u=100sinωt V，电流的有效值I=IRL=IC，电路消耗的功率P=866W，求电流的解析式。
[分析]因要写电流的解析式，就需要求出其有效值和初相位。而根据电路中电流和已知有效值I=IRL=IC的关系，通过作相量图则很容易就找到它们的相位关系。
[解析] 1.用相量图法求解：
根据电流和有效值I=IRL=IC的关系作相量图，很容易发现由三个电流相量 、 和构成的相量图恰好为一个等边三角形。由此可知电流i的相位超前电压u30°，即电路的阻抗角φ=－30°。
又∵电路消耗的功率P = 866W，而P＝UIcosφ
∴I＝A
则i =10sin（ωt +30°） A
但若采用相量法求解时，则需要进行较为繁琐的复数运算。
2.用相量法求解。
∵，利用各电流与电压 的相位关系，
得：， ，
[归纳]灵活恰当的运用相量图法，有时会使问题的难度大大降低。当它用于电路的定量计算时，则一般要求所作相量图的尺寸应准确，这样才便于找出各个交流电之间的一些特殊关系。
相量法是利用相量（复数）表示正弦交流电的代数方法，其中相量（复数）的模表示正弦交流电的有效值，相量（复数）的辐角表示正弦交流电的初相位。由于该方法采用的是代数方法，便于进行复杂的运算，故其更侧重于对问题进行定量的计算。
[例2]如图电路中，已知电阻R＝3KΩ，电流I2/I1= 2，若要使电压 的相位超前电压，试确定感抗XL的值。
[分析]根据已知的电压 和 的相位关系，以及电路中该两个电压之间的关系，运用相量法并结合相量（复数）除法的运算规则就可方便的求解。
[解析]1.用相量法求解。
因电压 超前电压 相位45°，即 10－20 = 45°
利用相量（复数）相除得：
由于该复数的辐角为45°，故可知其实部和虚部相等。
又电流I2/I1= 2，由分流原理 =
得：XC = =KΩ
再由分压原理得：
利用复数相等关系得： =
解得：XL= =1KΩ
2.用相量图法求解。
若采用相量图法，虽然可以找出一些交流电之间的关系，但由于所作的相量图不是很特殊，因此利用起来却很麻烦。
以电压 为参考相量，先作电流的相量图，再作电压 的相量图，并将其转化为阻抗三角形（各边长同除以电流I）。
由上面的解法1可知：XC = KΩ
则 = = = KΩ
又电流I2/I1= 2，由电流相量图得：RC = arcctanI2/I1= artan2，则在电压相量图中角=180°－45°－(90°－Rc）= 45°+ arctan2
再根据阻抗三角形，由正弦定理得 ： =
解得： XL=1KΩ
[归纳]采用相量法有时需要巧妙地利用题目中的已知条件，另外还要运用到一些复数的特殊运算和技巧。虽然在实际应用时两种方法各有所侧重，但在大多数情况下它们都能同时求解问题，并且难度相差无几。
[例3]如图电路中，U= 200 V，I1=10 A ，I2=10A ，R1=10Ω，R2= XL，求电路参数R2、XL和XC。
[分析]由于已知电流I1和I2，很显然若能够求出电压UC，则利用欧姆定律即可求出。
[解析]1.用相量图法求解。
设电压C为参考相量，作电流 的相量图。
∵R2 = XL ∴RL= arctan = arctan1= 45°
则由相量图得：I2 sinRL=10sin45°=10A= I1
又∵电流
∴I= I2cosRL=10 cos45°=10A且电流 与电压 同相
又∵电阻R1的电压 也与电流 同相
∴电压与电压同相，又∵电压
则UC = U－U1= 200－10×5 =150V
由欧姆定律得：XC= =15Ω
Ω
又∵
∴R2 = XL =7.5Ω
2.用相量法求解。
∵UC = I1XC = I2 即 10XC =10
又∵R2 = XL∴XC = 2 R2= 2XL
则 = 2 R2 ＋R1为实数
由此可知电路为谐振状态，后面过程可同解法1。
现另解如下：∵Z = = == 20Ω
又∵Z = 2 R2 ＋R1 ∴ 2 R2＋R1= 20Ω
解得R2 = = = 7.5Ω
则XL = R2= 7.5Ω，XC= 2 R2 =15Ω
[归纳]由于相量图法和相量法均是利用相量（复数）来表示正弦交流电的，只是采用的表现形式不同，即前者为几何的方法，而后者为代数的方法，但它们都最终由复数相统一，因此二者可谓殊途同归。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
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