首页 -> 2008年第9期
新课改下《圆的标准方程》探究式教学
作者：彭良香
（一）圆的方程的引入
我选择了奥运五环放光图作为课件的封面，奥运本身就是一个受关注的话题，今年的奥运对于我们来说更是一个非同寻常的历史话题，神圣、骄傲、激动、光荣，无法用语言来形容作为华夏子孙的心情。选择了奥运五环放光图，振奋了全体同学的精神。接着我向同学们展示北京奥运鸟巢，以圆为特色的建筑。接着，又向同学展示天津奥林匹克运动中心的建筑图，一个以圆为系列的建筑，圆形的水域中筑上圆形的建筑构成了风景优美的运动胜地。从建筑到生活，我列举生活中常见的车轮，美观适用，大大减少了车子在行使的过程中与地面的摩擦力。此外，地下通道口、游泳圈，生活中的太阳、月亮、石子掀起平静湖面上的波纹，让学生突然感觉到圆在我们身边无处不在。最后以疑问的口吻引入圆的标准方程的讲解：
多媒体展示隧道图，不知道同学们平时有没有注意到隧道口是一个半圆形的？多媒体播放一辆装满货物的大卡车缓缓的向隧道行驶。在这里我有一个问题要问一问同学们，这辆宽2.7米，高3米的卡车能顺利通过这个以4米为半径的隧道吗？同学们回答得既响亮又爽快：“能！”我就趋热打铁，为什么能呢？同学们又以响亮而又整齐的口吻回答：“因为隧道的半径是4米，而车子的高度只有3米。”我建模出一个坐标图形如下：
实际上，我们可以把这样一个生活问题转化成一个数学问题来解决，我们只要求出CD的高度是高于3米还是低于3米就可以了。那么，我们可以求出半圆AB的方程，当x等于2.7时计算出相应的y。
（二）推导圆的标准方程
回顾求曲线方程的四个步骤：①建立适当的坐标系，设曲线上任意一点动点M的坐标为(x、y)；②用等式写出动点M所适合的条件；③用坐标代入，得到方程f(x、y)=0；④化方程f(x、y)=0为最简形式。对照这四个步骤，在黑板上板书，带领学生一起推导圆的标准方程，过程如下：
①建立如图所示的坐标，设圆上任意一点M(x,y)。②根据圆的定义得：|MC|=r。③换成坐标表示 =r。④化简得：（x-h）2+(y-k)2=r2。
教师提醒学生观察圆心和半径在标准方程中的体现，总结圆的标准方程的特点。经学生相互探讨，教师总结为：①圆的标准方程是三个平方构成的等式，左边是x减去圆心横坐标的平方加上y减去圆心纵坐标的平方，右边是半径的平方。②即圆的标准方程带有明显的几何的影子，圆心和半径一目了然。③理论基础是两点间的距离公式。
（三）例题的设计与讲解
任何知识的学习都是一个循序渐进的过程，在例题选择上，我分为三块进行设计。①基础题：先根据标准方程找出圆心和半径，训练熟悉标准方程的形式；再根据圆心和半径写出圆的标准方程，训练掌握圆的标准方程；最后给出特殊位置的图形，请同学们看出圆心和半径，写出圆的标准方程，训练学生的数形结合能力，口头回答问题。②提升题：先是求过点P（5，1），圆心在点C（8，－3）处的圆的方程，根据条件求半径，巩固两点间的距离公式；再是已知两点A（-2，5），B（6，-5），求以线段AB为直径的圆的方程，根据条件求出圆心和半径，巩固中点公式，请学生上黑板练习。总结得出求圆心和半径是求圆的标准方程的基本思想和出发点。 ③延升题：以C（1，3）为圆心，并且和直线 3x-4y-7=0 相切的圆的方程，巩固直线和圆的位置关系，并且用解析几何的思想判断直线和圆的位置关系，动态的图形展示圆心到直线的距离与半径的关系。课堂小调剂，请同学们讨论怎样用解析几何的方法判断点与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，引导学生自觉地进行数与形的结合分析，克服学生习惯性地怕图形、回避图形的状况。看哪组同学回答的最好最快，给予及时评价和平时成绩纪录，充分调动了学生学习的热情，激发学生自主探究问题。④应用题：选择真实的桥的图形画面，请同学们思考建筑中的一个问题：此圆拱桥跨度AB=20m， 拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求中间两根支柱的长度（精确到0.01m）。
在此，我设计了如下五个问题：①我们怎样解决这样一个建筑问题；②怎样建立坐标系；③圆心在哪，圆心和半径我们能直接求出来吗？④怎样求出中间支柱的长度；⑤在解决这个问题中我们用到了哪些数学思想和方法？引领学生一个一个去解决，培养学生观察问题、发现问题及分析、解决问题的能力，激发学生自主探究问题的兴趣，同时培养学生勇于探索、坚韧不拔的意志品质。
（四）我设计本节课的思路
本节课的设计与教材的呈现方式有很大区别，教材只是教学的蓝本，教师在理解教材的编写意图的基础上，应发挥主观能动性，对教材资源进行再加工、再创造，这样，教学才更有利于认知结构与知识结构的有机结合，也有利于学生从深层次理解和掌握圆的标准方程。
鉴于此，本节在给出圆的标准方程的过程中，运用由简单、一般的到复杂、特殊的数学思想，使用了观察、归纳方法进行合情地推理，同时引导学生对照圆的几何形状，观察和欣赏圆与直线、圆与圆的位置关系 ，欣赏数学的简洁美。
在整个教学过程中，主要着眼于“引”，启发学生“探”，把“引”和“探”有机结合起来，教师的每项措施都是力求给学生创造一种思维情境，一个动手、动脑、动口并且主动参与学习的机会，激发学生求知的欲望，促使学生在不知不觉中掌握知识，解决问题。
（五）本节课得到的评价
听课教师评价：与专业知识联系紧密，课件用得恰到好处，知识的讲解循序渐进、符合学生的认知过程，板书工整得当，声音洪亮，起到了让学生手、脑、口并用的教学效果，课堂气氛活跃。
学生作业总结评价大概：本次课上得生动，让我在没有任何困难的前提下掌握了知识。突然觉得数学很有意思。还有同学写道：让我对数学产生了极大的兴趣。
通过本次课的尝试，我更加坚信课改的重要与必要，在课改思想的引导下，我会在课堂上做坚持不懈地尝试，并把好的效果写出来供大家商讨。在所有教师的共同努力下，课改必定会带来丰硕的成果。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
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