首页 -> 2008年第9期
三角函数最值问题的解题技巧
作者：章俊成
[关键词]三角函数最值问题解题方法
求函数的最大值与最小值涉及范围极为广泛，可使用的方法也很多，代数、三角、几何的问题中都有大量求最值的问题。三角函数与最值相关的问题综合性强，解题方法也多样化。解这类问题是运算能力、分析问题和解决问题能力的综合体现。下面介绍解三角函数最值问题的常见方法。
1.形如y=asinx+bcosx型的函数的最值。
3.形如y=asin2x+bsinx+c(a≠0)型的函数的最值。
这类问题最后化为二次函数的三角最值问题，利用三角函数的有界性-1≤sinx≤1，并结合二次函数的性质求得结论。闭区间上的二次函数一定存在最大值、最小值，并且最大值、最小值又一定在极值点或区间端点处获得。
例3.求函数y=-4cos2x-4sinx+6的最值。
解：y=-4cos2x-4sinx+6=-4（1- sin2x）-4sinx+6=（2sinx-1）2+1
4.求只含有sinx±cosx，sinxcosx的函数的最值问题，通常方法是换元法：令sinx±cosx=t(- ≤t≤ )，将sinxcosx转化为t的关系式，从而使问题转化为二次函数的最值问题。但要注意换元后变量的取值范围。
例4.求函数y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值。
的函数的值域，通常将函数式变形，转化为一个角的正弦或余弦形式，再根据正弦、余弦函数的有界性求得。也可以用万能公式，结合判别式法求得值域；此类问题还可以利用函数表达式的特点，应用数形结合思想使求函数最值的问题转化为求过某个定点与动点的直线斜率的最值问题。
且仅当a=b时函数才能取得最值。应当注意：
由以上几种形式，可以归纳出解三角函数最值问题的基本方法：一是应用正弦、余弦函数的有界性来求；二是利用二次函数闭区间内求最大值、最小值的方法；三是利用重要不等式或利用数形结合的方法来解决。三角函数的最值问题，是三角函数基础知识的综合应用，它与二次函数、三角函数的单调性、三角函数的图像等知识联系在一起，有一定的难度，要注意灵活选用方法。
参考文献：
[1]李玉萍.用数形结合的思想求函数的极值[J].数学教学研究,2004,(1).
[2]沈红霞.用均值不等式求最值,变不可能为可能[J].数学教学,2005,(10)30-31.
[3]薛金星.中学数学教材全解[M].
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
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