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浅谈立体几何教学中学生综合能力的培养
作者：张力民
关键词：立体几何教学；能力培养
技校立体几何课的教师都有这样的体会：立体几何课难教，学生不爱听，考试成绩不理想。究其原因有多种，如初中平面几何知识掌握得不扎实；学习方法和习惯不好；缺乏自我学习的能力等等。如何上好立体几何课？笔者认为，针对技校生的特点，重点不要放在几何的运算技巧而应放在培养学生的综合能力，即观察能力、作图能力和想象能力上。使学生真正做到会看、会画、会想，逐步形成新的心理习惯，使思维上升到自觉的水平。会看主要是让学生排除干扰，形成习惯，掌握看立体图的规律；会画主要是掌握画立体图的原理、方法和技巧，形成心理适应能力，并善于构图；会想就是指会在三维空间想象，突出想的范围、想的方法和规律，善于把实物转化为几何模型，掌握立体几何的思维规律。
观察是学好立体几何的基础
观察是发展数学表象思维的前提，而表象是在知觉的基础上所形成的感性形象，即人在思想中形成的事物的印象，例如在知觉金字塔、帐蓬、铅垂体的形象基础上，概括出来的一般的锥体的感觉就是表象。更具体地说，构成锥体的那些面、线在人脑的表征，就是一种数学表象。比如在立体几何教学中，一谈到“二面角”就能唤起主体头脑中河流大坝或平缓的山坡；一讲到斜线、射影，就会想起家乡田野中的电线杆。学生的表象思维的形成有一个逐步产生、发展的自我建构空间概念的过程。从学习一开始，学生就会努力通过自身观察建构表象。随着学习的深入，通过对表象进行加工、调整、积累、补充、修改、提炼，最后真正建构起完整准确的表象，即通过原有的表象对新表象的同化、顺应，达到认知结构的平衡，取得良好的图式。因此，在教学中，教师要引导学生多对现实事物进行观察，引导学生对图形形成正确的表象，抓住图形的形成特征与几何结构、个别不同的各种表象，从而建立起学生自已的空间观念。对于技校学生而言，由于许多专业课要求有一定的实际操作，对零部件有直观的了解。所以在立体几何教学中，培养学生观察的能力是至关重要的。教师可以引导学生观察教室内哪些是两个平行平面，它们具有哪些特点，说明为什么。学生通过对教室中墙面位置的观察看到：（1）两个平行平面没有公共点。（因为如果有一个公共点它们就相交。）（2）一个平面的一条直线与另一个平面平行。（天花板上的任一条直线与地面平行，不然两个平面就有公共点了，就相交了。）（3）左右的墙与前面的墙相交，得到的两条交线是平行的。（在教师的启发下也很快得到证明。）（4）教室内能否找到两条异面或平行的直线？（天花板墙面交线及地面与墙面的交线，墙面与墙面的交线中能够寻找出空间两条异面、平行、垂直、相交的直线。）（5）通过书本显示二面角的特点。
当然，除了借助周围实物来进行观察引导，还可以通过制作模型进行观察、分析，然后抽象概括出准确的概念。比如在三垂线教学中，做一个简单的模型，将一块三角板的一条直角边放在平面内，而另一条直角边移动成平面的斜线，让学生观察模型，可帮助学生理解和掌握三垂线定理。直观教具的使用，能培养学生的探索精神，帮助学生发现并理解数学知识，有利于抽象思维能力的培养。然而，在实际授课中，由于班内学生人数多，用直观教具很难使全体学生都能获得模型的整体印象，可以通过多媒体展示立体几何图形，引导学生通过计算机观察实物模型，帮助学生树立空间概念。观察是作图、类比、想象的基础，通过观察实物、模型能加强对空间图形的直观了解，对作图、演算极为有益。但要注意的是，观察的目的不是为了说明存在相应概念的原委以及它的基本形状，重要的是借此分析、概括出准确的概念。比如黑板代表平面，但要理解平面的“无限延展性”。
作图是学好立体几何的保证
掌握立体图形的作图方法，对后续学习有很大的帮助，如求体积和表面积、解析几何、微积分以及专业课制图的学习。技校生立体几何掌握不好的一个很大因素是空间图形不会做或作不准，教材中这部分内容所占的篇幅不大，主要介绍了水平放置的平面直观图画法，然而一旦叫学生真的去画三个平面相交图，学生往往不知所措，学生作图错误主要表现在以下三个方面：（1）画图特殊化。例如：两条异面直线画成如图1所示，直线与平面相交画成如图2所示。（2）画出图形不直观，虚线、实线画不清楚。特别是在画几个平面相交时。（3）平面图形与空间图形混淆，把空间图形画成平面图形。例如水平位置内的直角三角形、正三角形、圆都画成正面图了。
究其原因，主要是受“平面图形”影响太深，没有很好地区别平面图形与空间图形的不同；观察不够，缺乏空间想象能力。针对此种现象，教师要多示范、多练习，在学习立体几何初期，在课堂上可做一定量的画图练习，通过反复练习，使学生迅速掌握画图方法。在画比较复杂的直观图之前，应根据文字叙述或模型进行一定的空间想象，构想出一幅直观图来，先画个草图，以确定图形的形状、大小和空间位置；再从图中判别各元素的前后、左右等位置关系，分清哪些是可见的轮廓线，哪些不可见；然后再动手正式画直观图。画图的顺序应是由前到后、由明到暗、先实后虚。为了培养学生空间想象力，教师可引导学生绘制正多面体图形，在教科书上大多是正面与反面对称的图形，容易看懂，容易画出，不妨引导学生从不同的角度画，先画正四面体、正六面体然后尝试画正十二面体。
作图并不是单纯地将空间图形在平面上显示，有时需要结合点、线、面的基本概念。学生如果对这方面知识掌握不牢，遇到此类作图题时会感到“束手无策”，不知从哪着手，不会想也不会做。教师可以指导学生自己动手，在计算机上制作模型。这种做法可以加速培养学生的空间想象能力，同时也可以提高课内外练习的质量。立体几何的作图，着重于逻辑上的叙述，并不在于真实作图。教师在计算机上边讲解边作图，能极大地提高学生的空间想象能力和画图能力，学生不会被课本上的所谓标准图所束缚。
值得注意的是，立体几何中的图形只能画出几何体的直观图，它虽有立体感，却不能完全真实地表现相应的几何体，所以不能像平面几何中的图形那样给人以有效的直观启发，借助图形去探索解（证）题就比较困难。学生不能从直观图直接看出有关相等线段与等角，往往习惯于从图形中“直观地”看到某些线段或角的“不等”而拒绝承认它们相等的事实。为此，要结合观察实物模型来识别、分析立体图形中各种元素。
想象是学好立体几何的关键
空间想象能力就是对客观事物的空间形式进行观察、分析和抽象思考的能力。要正确地把客观事物的空间形式反映为数学中的几何图形，并通过对几何图形的分析和研究，理解客观事物的空间形式的特征。学习立体几何想象与思考是不可缺少的，当我们观察周围空间形象时，自然会去类比、想象这些空间现象有什么特征、规律。在教学中，教师尤其要重视培养学生的这种能力。
例如，我们通过观察教室中线、面各种位置关系后，可以引导学生思考：（1）直线与直线、直线与平面、平面与平面之间没有公共点就是平行，而平行就没有公共点。这两句话对吗？为什么？这里突出直线与直线是在同一平面内没有公共点才平行，而异面直线没有公共点，但不在同一平面内。（2）直线与直线、直线与平面、平面与平面之间有一个公共点就相交，相交就有一个公共点。这两句话对吗？为什么？这里突出平面与平面有一个公共点就相交，且相交于过这点的一条直线，并指出公共点、公共直线的双重性，以及交点交线在解决问题中的重要性。（3）直线与直线、直线与平面、平面与平面之间有两个公共点？它们的位置关系如何？这时两条直线重合，直线在平面内，平面与平面就相交于过两点的定直线。（4）如果平面与平面有三个公共点时位置关系如何？这里突出相交与重合两种情况。通过引导学生观察所学的直线与直线、直线与平面平行的判定，引出联想问题。
另外，立体几何许多问题可以归结为平面问题来解决。对于角的概念，我们要弄清平面上的角的定义是什么？有什么特点？异面直线所成的角、直线与平面所在角、平面与平面所成的角，它们都可以转为平面上的角来计算。对于“二面角”的定义，为什么这样定义？如何作“二面角”？这些都需要学生去思考和想象。
平面几何的许多结论也可类推到空间去。从平面几何中两直线的位置关系，类推出空间两直线的相互位置关系，再类推出空间两平面的相互关系。又从平行四边形类推平行六面体，从多边形类推出多面体，从圆类推出球，等等。要学好立体几何，上述种种问题和思路都必须在教师的指导下进行思索和想象，才能领会它的真谛。
“看、画、想”是培养学生动眼、动手、动脑的能力，但却不是孤立的，而是同一过程的共同行为。只有观察透了，才能对作图做到心中有数；只有在头脑中形成清晰的空间图形，才能正确分析、思考、想象各元素之间的关系，进而演绎和计算各种空间度量。对于数学基础较差的技校生而言，提高观察能力、作图能力和想象能力是学好立体几何的关键。