首页 -> 2007年第3期
数学教学中直线与平面基本概念的教学方法
作者：李淑萍
关键词：立体几何；直线与平面；基本概念；教学方法
立体几何中的概念、公理、定理是进行逻辑推理的基础，尤其是“直线与平面”这一章的内容，它系统地研究了线线、线面、面面的位置关系及判定、性质，是整个立体几何主要的基础知识。因此，掌握好这一章内容是学好立体几何的关键。为了加强学生对基本概念的理解、记忆，为整个立体几何学习打下坚实的基础，现就以下几个方面谈几点个人的教学体会。
消除思想顾虑，激发学习兴趣
近几年来，技工学校的学生数学基础普遍较差，缺乏空间想象力与逻辑推理能力，由平面几何转入立体几何，学生会感到很不适应，总是习惯于用平面图形的思维来考虑空间图形，对学好立体几何信心不足。针对这些情况，在教学中首先要鼓起学生学好立体几何的勇气，向学生介绍立体几何的研究对象、学习方法，指出立体几何与平面几何是紧密相联的，很多立体几何的问题，都可以转化为平面几何的问题来解决，鼓励学生只要认真学习，抓住每个概念的本质，做到深刻地理解就能学好立体几何，从而消除学生学习中的顾虑。为了引起学生的学习兴趣，充分认识学习立体几何知识的现实意义，可以列举一些现实生活中的实例，并提出一些有启发性的问题，如三条腿的凳子为什么是平稳的？怎样判定墙面与地面垂直？怎样检验钻床的钻头是否与工作面垂直？等等，使学生认识到立体几何知识在日常生活中无处不在，原理无时不用，从而产生学习兴趣，激发求知欲望。
用生动、形象、有趣的语言讲清概念
教师的语言要直观、生动、形象，既活泼有趣，又浅显易懂、深入浅出。这样才能把抽象的事物具体化，把深奥的理论形象化，使学生易于理解、易于产生联想。例如“平面”是一个原始的概念，无法下定义，只能举实例给出“平面”的形象。数学中的平面在空间是无限延展的，让学生体会到平面的延展性往往很难。有的学生总会误认为桌面、镜面等就是数学中的平面，把生活中的平面与几何中的平面混为一谈。教师可以先从“直线”的概念讲起，提出类似“直线有端点吗？你能否画出一条完整的直线？”等问题，引起学生的兴趣，接着教师可进一步指出：直线是没有端点的，一个人从生下来就开始，直到死为止，也画不出一条完整的直线。画不出完整的直线那么我们怎么表示直线呢？只能用直线上的一段来表示，决不能认为直线就是这么长，直线是向两方无限延伸的。趁学生的兴趣正浓，教师可紧接着指出：“平面”的概念也是如此，数学中的平面在空间是向各个方向无限延展的，它很平，没有厚薄、没有边界。而日常生活中常见到的玻璃面、黑板面、平静的水面等，只是数学里“平面”的一部分。既然平面是无限的，它也无法画出来，只能用有限的图形——平行四边形来表示。生动有趣的教学语言，调动了学生学习的积极性，加深了对平面概念延展性的理解与记忆。
抓住关键性的词汇
在学生作业中，常会看到这样的推理：
∵AB在平面α内，AC在平面β内
∴∠BAC是二面角α-MN-β的平面角。
这位同学推理错误，对二面角的平面角的概念没有理解，缺少条件“AB⊥MN，AC⊥MN”。每个定义中都存在着关键性的词语，抓住了关键词就抓住了事物的本质属性。因此，在讲述概念的过程中，要着重分析定义中的关键词，使学生明确地掌握概念。如二面角的平面角定义，经过分析，可以分解为三个要点：（1）过棱上一点；（2）在两个面内；（3）垂直于棱。并指出这三个条件必须同时满足，只要有一条不满足，就不是二面角的平面角。随后画出各种图形或举实例，让学生判定哪些是二面角的平面角，学生在充分理解的基础上按照上述三条可以做出正确答案。
用反例图形澄清错误的认识
图形是用来描述几何原理最直观的形象语言，几何中多以图形的正面形式来刻画点、线、面之间的结构关系，而反面形式不易被人们重视。反例图形就是用来说明某种关系或结论不成立的特殊图形。恰当地举出反例，对明辨是非、纠正错误会起到重要作用。例如“不共面的两条直线称为异面直线”，学生会误认为不同在某个特定平面内的直线是异面直线，为了让学生理解“不共面”的含义，教师可以提出问题：“分别画在两个平面内的直线是异面直线吗？”部分学生会认为答案是肯定的，当教师画出反例图1时，学生会立刻明白，画在两个平面内的直线不一定是异面直线。又如针对学生立体几何与平面几何容易混淆的知识，可以通过反例图形加强它们性质的比较，使学生加深对知识本质的区别，强化对知识的理解。如“平行于同一条直线的两条直线互相平行”在平面几何中成立，在立体几何中也成立。“垂直于同一直线的两条直线互相平行”，在平面几何中成立，而在立体几何中不成立，要说明这一点画一个反例图形就可以了。可见指出错误最有力也是最有效的办法就是画出反例图形。
借助模型和实物
数学中的许多概念都是从实际生活、生产中抽象出来的，但数学化了的概念与实际感受有较大距离，所以在立体几何教学开始阶段困难很大。克服困难的办法是遵循教学规律，使立体几何的教学尽可能与学生的认知过程靠近，注重直观思维的作用，逐步把直观思维引导到分析思维。因此，教学中充分利用模型与实物，为学生获取知识创造条件。例如要讲清楚公理“不在同一条直线上的三点确定一个平面”，可以举例：一扇门有两个合页和一把锁，门可以看作一个平面，两个合页和锁看作三个点，当打开时门转动一个位置，就可以看作是一个平面，可见经过两点有无数个平面，当门锁上时门被固定不能转动了，观察这三点是不在同一直线上的三点，因此得到：经过不在同一直线上的三点能作也只能作一个平面。这样，学生对公理容易理解与接受。再如公理“如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条经过这个点的公共直线。”学生对两平面相交为什么会是条直线不易理解，可以用硬纸板演示给学生看，如图2，就可使学生明白了这一道理。接着可以提问学生，若平面有两个公共点A、B，是否它们有两条公共直线呢？突出强调两个平面相交只有一条交线，这条交线就是通过A、B的直线，从而使学生加深了对公理的理解。
善于归纳总结找出规律
在适当的阶段，要引导学生对所学的概念穿针引线，使学生把握概念的脉络、抓住要点，便于理解记忆。如平面一节结束后，让学生归纳确定平面的方法；直线与平面一章结束后，让学生谈谈从线线平行、线面平行、面面平行的定义中有什么发现，判定线线、线面、面面平行或垂直有哪些方法，它们的距离问题有什么规律等等。只有学生掌握了概念的本质及概念之间的区别、联系，才能正确地使用概念。