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数学符号的教学策略
作者：马海琳
关键词：数学符号；抽象性；含义
数学的符号化特征及数学符号教学的重要性
数学是一种通用语言，是一种优于任何普通语言的最完善和最科学的语言。现代数学教育理论认为，数学教育的根本目的在于培养学生用数学的思想、方法来思考和解决生活实践中的问题，并用数学语言加以表达、描述。数学教育的主要任务之一就是培养学生的数学语言能力。
数学语言可分为符号语言、图形语言、文字语言。数学符号化是数学的一个重要特征。数学符号经过人类几千年漫长的努力演变而成，所有的数学思想内涵均可由一整套完美的符号语言精确表述。
符号化是数学的一个重要特征。现代数学理论认为数学应该是形式化的，可以被标志为一个彻底的符号系统。另外，由于我们按照事先给定的法则对无意义的符号或符号序列进行组合和变形，所以，从这个意义上讲，数学语言也是彻底的符号系统。正是由于数学的高度符号化，才使数学展现出独特的魅力，为我们提供了充分的想象空间。虽然其他学科语言中也有符号化现象，如化学符号和化学方程式，但与数学符号相比，其符号化程度明显低得多。符号化是目前数学建模教学活动的基本要求。建模活动抽象地将一些实际问题转化为数学问题，这一转化过程便是符号化过程。
初中阶段的数学教学是带有经验的、文字描述的数学教学，中等专业学校的数学教学则是以理论为主的具有抽象逻辑思维特征的教学。概念多、公式多、符号多是中等专业学校数学区别于初中数学的特点。中等专业学校的数学教学是以集合为标志的符号语言教学。这种从现实生活中剥离出来的数学符号，使数学具有较高的抽象性。中等数学所涉及的数学符号大多是在逐次抽象中产生的，这就要求学习者具有较强的抽象思维能力和概括能力。然而，思维发展心理学表明，中等专业学校的学生正处于由以经验为主的抽象思维向以理论为主的抽象逻辑思维转变阶段，很难接受抽象程度较高的数学内容。很多学生认为数学符号不好学。对学生的问卷调查也表明，数学符号是学生感到学习困难的主要内容之一。因此，在教学中，应明确数学符号语言具有高度抽象性的特点，清楚数学符号语言的形成过程，认真对待数学符号教学。
数学符号的精确性及数学符号教学的策略
（一）数学符号教学的重点是准确理解数学符号的含义
精确性是数学符号的主要特性之一。数学拒绝歧义。例如用“是”字表达的数学语言：（1）0是自然数；（2）长方形是平行四边形；（3）x>1是不等式x2>1的正数解，用符号语言表示为：（1）0∈N；（2）｛长方形｝ ｛平行四边形｝；（3）｛x|x>1｝=｛x|x2>1且x>0｝。“∈、 、=”具有不同的含义，能够彼此区别开来，避免了“是”这一概念的模糊性。
符号语言的精确性要求学生必须准确理解数学符号的含义。然而，学生对数学符号的认识普遍存在模糊性。例如学生对符号y=ax与y=xa的理解经常模糊不清，原因在于对符号的含义理解不清。这种模糊性产生的根本原因是学生对数学概念、性质、定理把握不准。
由于数学符号具有高度的集约性、抽象性、丰富性、精确性，学生难以真正理解其含义。因此，如何帮助学生准确理解数学符号的含义便成为数学符号教学的重点和难点。数学符号教学容易停留在机械学习的层面，即学生在没有充分理解数学符号的情况下，死记硬背数学公式或表达式，使得对数学符号语言的认识停留在表面上。任何一个符号表达式都包括两方面内容：语义内容与语法内容。语义内容指符号表达式所表达的内在数学含义，例如“a+b=b+a”这一表达式的语义内容是：在“+”这种运算中，元素的次序不同并不影响运算的结果。语法内容指符号表达式的形式结构。与机械学习相对的是奥苏尔贝（D.P.Ausubel）的有意义的学习理论。数学有意义的学习是在思考、理解符号所表示的知识后，将其融会贯通的学习形式。有意义的学习过程就是在原有认知结构的基础上形成新的认知结构的过程，原有认知结构是新的学习的最关键因素，一切新的学习都是在过去学习的基础上产生的，通过与学生原来的有关知识相互联系、相互作用后转化为主体的知识结构。比如，如果学生仅从形式上记住函数y=f（x），那么，在遇到u=f（x）、s=f（t）时，就会认为是两个不同函数。如果在理解函数y=f（x）的文字意义与符号意义的同时，还能将其与映射概念以及基本初等函数融会贯通，就能理解y=f（x）的真正含义。
（二）数学符号教学的策略
使用通俗性语言数学符号的抽象性使学生普遍感到难以理解，因而成为教学的难点。中等数学涉及的符号大多是在逐次抽象中产生的，是对已经符号化的问题进一步抽象化处理后的再数学化，是数学的内部活动，具有更高的抽象性。这种不断上升的、新的、更高级别的抽象程度是数学发展的一个重要特征。要使学生能够接受并理解这种更高级别的抽象性，教学时就必须采用生动有趣、通俗易懂的语言，从具体的描述性语言开始，逐步抽象成比较简约的语言。
遵循直观性原则，建立具体模型人们总是希望借助直观、具体的事物理解抽象的事物。针对中专学生形象思维能力较好、抽象思维能力较差的特点，笔者认为进行数学符号教学时，应遵循直观性原则。直观性原则指在教学中让学生观察所学事物或教师的形象描述，引导学生形成对所学事物的清晰表象，丰富他们的感性知识，使他们正确理解书本知识，发展其认识能力。直观性原则反映了人类认识的基本规律。在引入一个新的数学符号时，首先要向学生介绍各种有代表性的实体模型，使同一知识对象可以通过多样化的载体呈现出来，形成一定的感性认识。如在讲授组合公式Cnm时，可以借助“从四名学生中任选两人值日，有多少种分法？”“上、下午各一人值日有多少种分法？”等经常发生在学生身边的事例帮助学生理解该公式。
提倡动手实践，获得感性认识不少学生都存在对数学符号记不住、分不清的问题。他们认为数学就是枯燥的符号加概念、是数字游戏，没有实际意义，习惯于教师讲、学生听的授课模式，很少主动探讨问题。教育心理学研究表明，如果学生只听讲，不读书，只能记住所学内容的15%；如果只看书不听讲，只能记住所学内容的25%；如果既读书又听讲，则可记住所学内容的65%；如果在听讲、读书的同时动手实践，让耳、眼、口、手、脑等多种感官同时积极参与活动，相互影响、相互促进，则能获得更好的学习效果。如讲授组合公式时，可以让学生自己动手“分一分”，归纳有多少种分法，“数一数”排列、组合的数值。学生在这些实物、模型、问题等元素的作用下，通过各种感官及大脑的复杂反应活动，建立起关于事物的特征与联系的感觉、知觉、表象或观念，从而获得了对事物的感性认识。
运用科学思维方法，理解数学符号学生在获得感性认知的基础上，能否理解所学知识，与学生是否掌握科学的思维方法有关。思维方法是思维的钥匙，掌握了科学的思维方法，才能对已获得的感性材料进行合理加工、处理，把握事物的本质特性和内在联系，获得简洁的概括性认识。科学的思维方法和数学紧密联系，体现在教学活动之中，并且在教学活动中得到培养和发展。在整个教学活动中，教师起到引导、点拨作用。以组合公式为例，教师引导学生采用猜想、检验、归纳等方法，根据定义脱离具体模型对符号的实质进行分析，让学生掌握符号的抽象含义。这一过程超越了具体问题的情景，深刻揭示了不同问题的共同性、普遍性，提升了学生的认识、思考水平，使学生不但获得了科学的思维方法，也了解了符号的特性，理解了符号的本质含义。
重视对比、辨析，认识符号本质要引导学生将新的数学符号与相关的旧知识进行对比，分析它们的区别与联系，帮助学生理解不同符号的内在逻辑联系和符号自身的含义。如将新符号y=ax与旧知识y=xa进行对比时，有的学生则因为概念不清，没有理解符号的本质含义，将这两个符号混淆在一起，教师在教学中应分析它们的区别与联系，帮助学生深入理解这两组数学符号。
重视口头语言与符号语言的转化训练数学语言要求极其精炼、准确、富有严密的逻辑性，对概念、定理的叙述必须严密完整、准确无误，不可随意编造、简化，例如sin2α应读成sinα（稍停）的平方，不可读成sin平方α。口头语言是通过自己的叙述，重新对数学符号赋予意义。学生首先将符号语言内化，然后将其转化为口头语言，也就是说，口头语言能够促进学生对符号语言的理解。在将符号语言转化成口头语言时，学生经常感到“只能意会，无法言传”，存在较大困难。另外，数学教育的根本目的在于帮助学生用数学的思维方法解决生活中的问题，准确地将文字语言转化为符号语言是实现这一目标的基本要求。然而，学生对这两种语言进行相互转化的能力普遍较差，这种现象在立体几何的学习中表现得尤为突出，学生常常对用符号语言表述证明过程感到困难。可见，培养学生对两种语言相互转化的能力不容忽视。
总之，数学符号语言教学具有长期性的特点，不可急于求成。
参考文献：
[1]郑毓信.数学教育哲学[M].成都：四川教育出版社，2001.
[2]傅海伦.数学教育发展概论[M].北京：科学出版社，2001.
[3]叶立军，方骏斌等.现代数学教学论[M].杭州：浙江大学出版社，2006.
作者简介：
马海琳（1964—），女，天津市人，天津市第二商业学校讲师，主要从事数学教学，研究方向为教育教学理论。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
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