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关于问题驱动数学教学的几种策略
作者：黄 贵 李志萍
关键词：问题驱动；数学教学；策略
美国数学家哈尔莫斯（P.R.Halmos）曾经指出：“问题是数学的心脏”。著名科学方法论学者源波普尔（K.R.Popper）认为：“正是问题激发我们去学习，去发展知识，去实践，去观察”。数学家们无一不懂得问题在整个数学发展以及个人创造活动中的地位和作用，正是问题驱使数学家付出毕生的精力去追求答案。中国古代数学经典《九章算术》就是一本问题集；1900年希尔伯特的23个数学问题为20世纪数学的发展指明了方向。数学发展的历史使人们意识到问题是数学发展的生长点。问题对于数学教学也至关重要，一方面，从学科属性来看，学科数学的材料来源于科学数学，问题同样是学科数学的生长点；另一方面，从教育属性来看，根据维果斯基“最近发展区”理论，教学可以促进学生发展，从“已知区”到“最近发展区”。由于维果斯基早逝，没有具体论述采用何种教学促进学生发展。我们认为，促进学生发展的动因是问题驱动，问题也是数学教学的生长点。因此，数学教学必须使用问题驱动。
下面谈谈设计问题驱动的策略。
搭建知识框架的策略
关于知识的建构，建构主义及情境认知理论均认为知识的建构是在新、旧知识经验的相互作用下完成的，学习者在建构新知识时，既要围绕当前问题解决活动获取有关的信息，同时又要不断激活原有的知识经验，对当前问题作出分析和推论、综合和概括，同时新、旧经验的合理性又在问题解决过程中得到检验。在知识建构活动中，新、旧知识经验之间的相互作用得以充分展开，为知识建构提供了理想的途径。因此，知识建构教学的关键在于教师怎样在学生的新旧知识互动过程中提供必要的引导和有力的支持——搭建知识框架。根据知识结构“网络”论，教师应在学生“最近发展区”内设置问题系列，为学生搭建知识框架，建立新旧知识之间的联系，协助学生构建知识，并给学生提供实现由现有认知水平向潜在认知水平发展的机会，促进学生的认知发展。
关于“弧度制”的教学，有些教师上课时单刀直入给出角度制与弧度制的换算关系，然后就是反复演练，这样的教学枯燥乏味，属于典型的被动灌输和机械训练。如果按照数学知识自身的生长点设计问题驱动，展示数学知识发生、发展以及形成过程，会收到意想不到的好效果。
问题1：为什么要引入弧度制？原有的角度制不是很好吗？角度与实数有很多不便，而数学比较强调统一性。
问题2：怎样把一个角表示成实数？让学生自己想办法解决，根据情况点拨，发现原有知识固着点——圆周率等于圆的周长与直径的比值与新问题的联系，引用角的弧度制表示问题，然后再进入角度制与弧度制换算的知识学习。启发式的思想实质就是搭建知识框架的问题驱动。具有启发性的问题源于教师对教材的熟练应用，更源于教师对知识的深刻理解，教学创新就存在于问题设计之中。
提供变式的策略
数学教学的深化和发展是通过变式来完成的。变式是促进有效数学教学的中国方式。数学学习往往要历经“过程”而达成，然后转变为“概念”（对象）的认知过程。顾泠沅先生把变式分为概念性变式和过程性变式两类。概念性变式被论述为“在教学中用不同形式的直观材料或事例说明事物的本质属性，或变换同类事物的非本质特征以突出事物的本质特征。目的在于使学生理解哪些是事物的本质特征，哪些是事物的非本质特征，从而对一事物形成科学概念”。过程性变式的主要含义是，在数学活动过程中，通过有层次地推进，使学生分步解决问题，积累多种活动经验。因此，对于数学概念、命题推演和问题解决等每一类数学学习对象，均存在着概念性变式和过程性变式。
我们认为，变式教学就是问题驱动，可以运用变式策略从两个方面设计问题驱动：一是从概念性变式方面，通过直观或具体的变式引入概念，通过非标准变式突出概念的本质属性，通过非概念变式明确概念的外延，常用的有“反例变式”。二是从过程性变式方面揭示概念的形成过程，在问题解决过程中设置问题，构建特定的经验系统的变式，如一题多变、一题多解、一法多用等。
例如，关于“多边形的外角和”定理的教学，可以利用定理变式设计问题驱动。
问题1：假如你从一条封闭曲线上的任一点A出发，行走方向时时在改变，当你重新回到出发点A时，所有角度的改变量之和是多少？
问题2：当你沿着多边形的任一顶点A出发，再回到出发点A时，情况又怎样？学生从中可以发现“多边形的外角和”定理。然后再探索证明结论的方法。
从问题1到问题2的变式中，把“变的部分”——闭曲线、闭折线（多边形）和“不变的部分”——外角和加以区别，从“不变”中探求本质属性，从而深刻地理解外角和定理。
数与形相结合的策略
数与形构成了数学研究的基本对象，数形结合是一种极富数学特点的信息转换，在数学上总是用数的抽象性质来说明形的事实，同时又用图形的性质来说明数的事实。数形结合过程中潜在地蕴含着两种主要的思维方式：一是严谨的逻辑思维，一是直觉的感知思维。数形结合是达到沟通逻辑思维与直觉思维、形成数学深度理解的一种有效途径。
运用数形结合的策略设计问题驱动的经典范例是柏拉图《理想国》中的苏格拉底与奴隶的一番对话：苏格拉底要求奴隶画出一个正方形，使其面积是一个已知正方形面积的两倍，奴隶不假思索地认为前者边长应当是后者边长的两倍，显然，这个回答并不正确。后来，苏格拉底在奴隶面前画了一个图形，借助这个直观形象的图形和不断反复的引导，终于帮助奴隶改变了错误的观点，给出了正确的回答。美国数学家斯蒂恩曾经指出：如果一个特定的问题可以被转化为一个图形，那么思想就整体地把握了问题，并且能创造性地思索问题的解法。蔡金法先生通过研究发现，中国学生在评价复杂问题解决的开发性任务方面不如美国学生，其原因是美国学生在问题解决的过程中更喜欢使用图形策略与图形表征。因此，图形表征是一种重要的思想方法，数形结合也是设计问题驱动的良好策略。
例如，已知函数f（x）=|x|和一次函数g（x）=ax+3，试问当参a取何值时，由函数f（x）和g（x）的图像所围成的图形面积最小。教学中可设计如下问题驱动。
问题1：观察图形，直线系在哪个位置所围成的图形面积最小？
当直线系变化时，BE比BD长，所以左边的三角形（△ABD）比右边的三角形（△EBC）的面积要小，也就是水平线（y＝3）下面的三角形（△ABD）比水平线上面的三角形（△EBC）的面积要小。即处在水平位置（a＝0）所围成的图形面积最小。
问题2：直观“看出”的结论，怎样用代数方法加以证明？
以上提出了三种设计问题驱动的策略，问题设计可以使用不同的方法，有多种多样的呈现方式，设计问题的要求有三点：一是激发学习动机。问题情境能够在具体的数学问题上体现它的生命力，激起学生学习数学的兴趣，同时能够揭示数学的本质。二是形成问题意识。学生面临问题情境，会产生怀疑、困惑、猜想、探究的心理，容易激发学生的积极思维，以便设法解决问题。三是有助于知识迁移。面对问题情境，学生在新旧知识之间能建立起合理的、实质的联系。其中，“合理的联系”就是要寻找可以关联新旧知识的“知识固着点”，“实质的联系”就是可以“换一个形式来检验”，如通过变式来检验实质的联系。
参考文献：
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作者简介：
黄贵（1961—），男，江西鹰潭人，硕士，教授，主要从事教学教育研究。