首页 -> 2008年第9期
谈数学教学中抽象思维能力的培养
作者：高学刚
关键词：数学；抽象思维；具象思维
数学的抽象性特点决定了数学思维的核心形式是抽象思维，数学教学的根本问题就是抽象思维能力的培养问题。
有关数学思维的概述
思维是人对事物的间接的、概括的反映过程，是一种复杂的、高级的心理活动。心理学家从不同的角度，根据不同的特征将其划分为思维类型或思维形式。流行的一种划分是：感知动作思维、具体形象思维、抽象思维和辩证思维。这种划分比较深刻地反映了人认识事物的思维发展的阶段性。
感知动作思维是指在操作和感知过程中进行的思维，感知的事物消失了，操作停止了，这种形式的思维也就中止了。
具体形象思维就是指离开感知和动作而利用头脑中所保留的事物形象所进行的思维，其特点是思维对具体形象有依赖性。
抽象思维叫逻辑思维，就是指脱离开具体形象，动用概念、判断和推理等进行的思维。它是在感性认识所取得的材料的基础上，运用概念、判断和推理等间接、概括、抽象地反映客观事物，根据抽象的不同程度，抽象思维又分经验型和理论型两种。
辩证思维是指客观的辩证规律在人们思维中的反映，是客观事物发展过程的逻辑再现，它反映了概念、判断、推理等灵活性、可变性和辩证矛盾的特性，是人类思维发展的高级阶段，是一般思维形式的突破和发展。
面对同一个数学内容，在不同的认识阶段，在处理它的思维形式上也各有不同，以乘法对加法的分配律为例：
小学算术中，只给出这一定律的概念：
（3＋7）×5=3×5+7×5
并通过验算加以说明。认识依赖于操作。到初中一年级，进入有理数范围之后，定律表示为：（a+b）c=ac+bc
即通过大量的、各种不同类型的（正数、负数、零、整数、分数）具体数字的验算获得经验，使学生承认，它对a、b、c为任何有理数时都是成立的。这时定律的成立虽然仍依赖于一个个具体的数，但已有了经验型抽象思维的特征：能不能证明它？怎样证明它？思维敏捷的初中一、二年级的学生往往会提出这样的问题。
在实数和复数集合里，定律虽呈现出同一的形态，但内容更加丰富，而只有在“数论”中才能得到严格的证明，只有在抽象代数中才能使它脱离开具体的数而成立，从而达到理论抽象思维的水平。至于到集合论或逻辑代数中的表现形式分别为：
（A∪B）∩C=（A∩C）∪（B∩C）
（A∨B）∧C=（A∧C）∨（B∧C）
其论证已具有辩证思维的特征了。
从传授知识和开发智力的角度而言，在编排教材和选择教法时，应采取哪些思维形式呢？这要由学生的年龄特征和智力发展的阶段而定。
由具体形象思维向经验型抽象思维的过渡
斯脱利亚尔在他的《数学教育学》专著中提出了数学思维水平的学说，他指出：数学教学就是数学活动的教学，数学活动乃是具有一定结构的思维活动，而数学活动（即数学思维）有不同的水平，数学教育能够，也应该做到使学生循序渐进地由数学活动的一个水平向另一个更高的水平发展。
什么是思维水平？斯脱利亚尔只说是对所学材料的概括、抽象和严格论证的一定的水平和逻辑结构，事实上就是抽象思维的水平，它依赖于数学的抽象水平。
对此，我国数学家徐利治教授提出了“数学抽象度”的学说，以抽象度要领反映数学抽象所具有的抽象层次。他举出的一个数学抽象物链的例子说明了我们熟知的数学内容的抽象程度（见图1）：
其中“-”表示弱抽象，“＋”表示强抽象，C0为连续函数，C’为可微函数，I为黎曼可积函数，A为解析函数，从一类对象沿着箭头前进，则达到更加抽象的对象。一般说来，数学思维水平与一定的数学对象相联系，就是说要掌握抽象度高的数学内容，需要有较高的数学思维水平。或者说，对抽象度相同的一类数学内容掌握的程度是与数学思维的水平相关的。在教学过程中，应注意适时地过渡到较高的（下一个）思维水平。如从正负数概念、字母表数、整式的四则运算到分式的基本性质，都是实例验证的办法，归纳导出的整个思路都只是说明它的存在和怎样操作运用，并未给予理论的说明，而当引入同底幂乘法与乘方法则时，进行了简单的推导。
am·an=a……aa……a=aa…aa=am+n
本应配以简单的练习，继续前进，逐渐提高思维水平，但遗憾的是在验证同底幂除法法则时，又回到实例验证的方法，而失去一个提高思维水平的大好时机，为此，建议采用如下处理方法，当n为正整数时：
理论型抽象思维能力的培养
数学的抽象是经过一系列的阶段而产生、形成和发展的。事实上，对每一部分的数学内容，如自然数——复数，平面几何中点——圆，立体几何中点、线、面、体——多面体和旋转体都可构造某种意义下的抽象物链，从而决定某一内容的抽象度和抽象难度。
学生在学习过程中，思维能力和数学思维的水平也不例外，它是通过对数学知识的理解、掌握和运用逐步形成和发展起来的。
由初二到高一这一阶段所学习的数学内容是相当丰富的，不仅完成了数、式、函数的基本内容，而且完成了平面几何、立体几何的学习。着眼于函数的抽象链如图1。数与式的内容构造——抽象链如图2所示。
由图中我们不难看出“有理数”、“整式”是两个交汇点，而“指数和对数——超越式”则是数式链的一个终端。因此可以说，正确迅速的运算能力应该是以有理数运算（以及整式变式）为基础，而以指数和对数的运算为关键，因为由有理数的四则运算到实数指数和对数的运算，无疑是增加了抽象思维的水平。
再来看图1，我们看到，“函数”是一个多重交汇点，因此，在培养学生抽象思维能力的过程中，这无疑是一块重要的里程碑。由初二到高一这一段的学习中，学生大体已经完成了函数概念的学习，从高二到高三，学生抽象思维水平继续提高，由经验型抽象思维向理论型抽象思维逐步转化，并由此而导向辩证思维的初步发展，这时，除了集合、映射、函数等数学内容继续起积极的作用外，不等式的证明、线性方程组与行列式理论、复数、排列组合、数学归纳法、二项式定理、解析几何、微积分与概率初步等内容，以其丰富的数学方法、思维方式众多的训练机会，使学生的抽象思维水平逐步提高，并初步进入抽象思维的高级形态——辩证思维阶段。
参考文献：
[1]苏天辅.形式逻辑[M].北京：中央广播电视大学出版社， 1983.
[2]德格·克劳斯.形式逻辑导论[M].上海：上海译文出版社，1981.
[3]王柔怀，伍卓群.常微分方程讲义[M].北京：人民教育出版社，1963.
[4]武汉大学数学系.数学分析[M].北京：人民教育出版社，1978.
作者简介：
高学刚（1960—），男，安徽蚌埠人，安徽省淮南市动力技工学校讲师，研究方向为数学教学。
本文为全文原貌 请先安装PDF浏览器
原版全文