首页 -> 2008年第10期
极限教学应把握好三个环节
作者：晏素珍
关键词：高等数学；极限思想；极限定义；思维方式；方法训练
高职院校的招生人数逐年扩大，很多数学基础较差的学生进入了高职院校，这给高职数学教学带来了新的困难，提出了新的课题。如何激发学生学习高等数学的积极性，提高学生学习高等数学的效率，是高等数学教师必须思考和解决的问题。
高等数学是职业院校大多数专业开设的一门必修的、重要的基础课，高等数学的严谨性、抽象性、逻辑性决定了这门课程的学习来不得半点虚假，没有扎实的基础知识和数学基本功训练的积累，后续的微积分学、级数、常微分方程、空间解析几何等的学习只能是一句空话。微积分是这门课程的重点内容，而极限理论又是微积分学的奠基石，是学习高等数学的主要工具，极限方法贯穿于微积分的始终，微积分基本问题的解决及主要概念的建立都要依赖于此。极限的概念和思维方法对学生来说比较陌生，加之职业院校的学生普遍数学基础较差，因而导致许多学生厌学。因此，怎样从一开始就让学生正确地掌握极限概念，正确地求出极限，是教师教好这门课程的关键。如果把高等数学看作是一首交响曲，那么极限就是这首交响曲的序曲，微积分就是这首交响曲的主旋律。因此，只有演奏好序曲，才能使主旋律优美动听。笔者从多年的高等数学教学实践中体会到，如果把握好极限教学中的三个环节，就能使学生轻松地进入微积分的学习。
了解极限思想，转变思维方式
教学前期，应介绍极限理论产生与发展的历史，让学生初步了解朴素的极限思想，了解微积分理论的产生与完善历程，通过介绍著名数学家的生平，激发学生的学习欲望，降低学生对学习极限理论的恐惧感，为学习微积分理论做好思想准备和知识准备。
我国早期的极限思想在我国灿烂的数学史上，很早就有朴素的极限思想。魏晋时期著名数学家刘徽的“割圆术”就是通过作圆的内接正多边形，使多边形的周长近似圆的周长，随着多边形边数的增加，使多边形的周长越来越接近圆的周长。刘徽说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”。这一古代了不起的极限思想的核心就是由量变到质变，描述了事物的变化趋势，充分体现了唯物辩证法的思想方法和认识规律。所以，要引导学生从有限认识无限，从已知认识未知，从近似认识精确。
极限理论对微积分的作用19世纪下半叶，牛顿、莱布尼兹创建了微积分学，数学从初等数学阶段进入到变量数学的新时期，正如恩格斯评价的那样：“变量数学不仅可以描述状态，而且可以描述过程”。微积分产生以后之所以发展缓慢，应用受到局限，原因就是微积分的理论基础缺乏严密性，导致许多所谓“悖论”，数学家逐渐认识到，对微积分基本原理的严格检验不能依赖于物理或几何，只能依靠它自身。19世纪法国数学家柯西在多年的数学分析教学中创立了严密的极限理论。柯西规定：“当一个变量相继取的值无限接近于一个固定值，最终与此固定值之差要多小就有多小时，该值就称为所有其他值的极限”。他把极限定义转述为不等式，产生了用语言描述极限的雏形，证明了关于极限的一些较难命题，使微积分建立在巩固的逻辑基础上，构成了由定义、定理及其证明和有关各种应用组成的逻辑上紧密联系的体系。通过介绍极限理论和微积分学的创立过程，可使学生了解极限理论对微积分学的作用，知道极限理论在高等数学中的重要地位，从而激发学生的学习积极性。
引导学生改变思维方式由于极限描述的是从量变到质变的变化过程，是从客观到抽象的飞跃，因此，学生的思维方式也要转变，从常量数学转到变量数学；从定量、定性的分析研究方式转到变量、变性的分析研究方式；从简单、直接、有限的运算推理转到复杂、抽象、无限的具有严密逻辑性的运算推理。这三个方面的转变在极限教学的初期就要逐步渗透，在教学中要理论联系实际，巧举正反实例。例如，极限的和差运算必须在函数极限存在而且是有限次运算的条件下进行，其反例可由极限的夹逼性推出：
通过对比分析初等数学和高等数学中的相关知识点，循循善诱，逐步引导，可让学生在学习中逐步实现思维方式的转变，逐步形成良好的极限思维方式，为今后的高等数学学习做好准备，这对逐步提高职业院校学生的数学素质与解决问题的能力很有帮助。
注重文字形式的极限定义，淡化分析形式的极限定义
在高等数学教学中，极限是学生学习导数的关键和难点，微积分中的重要概念都是用极限定义的。实践证明，因为学生以前几乎没有接触过严格的极限概念，而且学生的数学基础较薄弱，所以遇到极限问题自然会产生疑问与困惑。为了帮助学生理解和掌握极限定义，教师要用恰当的例子进行描述和解释，要自然流畅，淡化形式，降低难度，将重点放在极限思想的描述上。极限定义有两种形式：一种是文字的形式，一种是分析的形式。对初学者而言，文字概念的直观性强，容易举例说明，与现实生活联系紧密，学生较易掌握，是教学的重点。分析形式的极限定义ε-δ（N）较抽象，难理解，特别是由ε确定δ或N，不容易掌握，是教学难点，而高等数学教学大纲要求深刻理解极限的描述性定义，对ε-δ（N）的定义要求一般理解。因此，在极限概念的教学中，应注重分解难点，突出重点，使学生轻松步入极限运算与极限概念应用的学习中。
在教学初期，可列举学生熟悉的数列极限实例，用从特殊到一般的方法，讲述数列极限概念，使学生对“无限逼近”有个全面正确的认识，通过图像、表格对无限变化的稳定趋势进行定性分析，概括出数列极限的描述性定义，为学习函数极限获得丰富的感性知识。对于函数极限定义可用同样的方法进行教学，通过举例对当函数自变量向某个方向变化时函数值变化的稳定趋势进行定性分析，总结出函数极限的描述性定义。当学生理解了极限的描述性定义后，可在极限运算和应用的教学中采用循序渐进的教学方法，逐步使学生理解ε-δ（N）的含义，达到对极限概念的深层次理解，使学生顺利地进入微积分主体部分的学习。
加强运算方法训练，提高极限理论的应用能力
极限运算是高等数学教学中的难点和重点，因为极限方法是讨论微积分学中函数的连续、导数、积分等概念的工具，极限运算方法掌握得好坏直接影响到微积分理论的学习效果，所以，在极限教学的后期，要着重对学生进行极限运算方法的训练，使他们能够熟练地应用极限运算法则、无穷小量、无穷大量、重要极限等去解决各种类型的求极限问题，提高极限理论的应用能力，给微积分主体部分的学习打下坚实的基础。
参考文献：
[1]吴文俊.世界著名数学家传记[M].北京：科学出版社，1995.
[2]侯风波.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2003.
作者简介：
晏素珍（1963—），女，甘肃古浪人，武威职业学院基础部主任，副教授，主要从事高等数学、离散数学教学与研究。
（本文责任编辑：王恒）
本文为全文原貌 请先安装PDF浏览器
原版全文