西方数学的传播
鸦片战争以后，中国数学出现了新的发展态势，一方面，西方传教士借五口通商的便利，在传教的同时，扩大西方数学的传入；另一方面，清朝统治集团内部的一些洋务派人士注意支持中国的科学事业，包括中国传统数学的发展，以及西方数学典籍的翻译。李善兰是这一时期最重要的中国数学家。他既精于中国古代的传统数学，又能吸收西方的一些数学观念加以糅和，代表了那一时代中国数学的最高水平。
1843年，英国人麦都思（W.H.Medhurst，1796—1857）在上海设立墨海书馆，印刷《圣经》等传教需用的材料。1847年8月26日，受英国伦敦会的派遣，伟烈亚力来到上海主持墨海书馆的出版事务。伟烈亚力主持馆务之余，借他在伦敦自学的一点汉语知识，研读中国的天文数学典籍，并涉猎西方科学著作的汉译工作。他自称：“余自西土远来中国，以传耶稣之道为本，余则兼习艺能。”①他和李善兰合作翻译的《几何原本》后9卷，以及第一本介绍微积分的译作《代微积拾级》分别在1857年和1859年出版，成为继利玛窦和徐光启翻译《几何原本》前6卷之后向中国传播西方数学的又一重要事件。
进入十八世纪六十年代之后，英国人傅兰雅、美国长老会牧师狄考文（C.W.Mateer，1836—1908）也参与翻译西方数学著作，影响很广。
另一方面，清政府中的洋务派主张学习西方技术，特别注意对数学的支持。经过一番激烈的争论，同治帝接受恭亲王奕䜣的奏请，于1862年在同文馆设立天文算学馆。1865年，曾国藩、李鸿章奏准在上海设立江南制造局。1868年起，在其内设翻译馆，有关代数学、三角学、概率论等一大批西方数学著作被译成中文。政府官员中也有一些人专攻数学，如江苏巡抚徐有壬，与同时代的数学家李善兰等多有来往，自己亦有著作多种；江西的吴嘉善曾为翰林院编修，尝与徐有壬共同研究数学；湖南天算家丁取忠曾在1860年应胡林翼之请到武昌作幕宾，晚年和他的弟子左潜（左宗棠的从子），曾纪鸿（曾国藩的次子）在长沙白芙堂研究数学。
1866年，曾国藩“邮致三百金”到南京资助李善兰出版《则古昔斋算学》24卷，这部著作代表了当时中国传统数学的最高水平。
然而，尽管有传教士和洋务派人士对数学的支持，中国数学前进的步伐仍然十分缓慢。
传统数学的终结在腐朽的清皇朝统治下，一部分比较开明的知识分子抛弃了对功名富贵的追求，以研究数学排遣忧闷，另一部分则追随洋务派以研究数学而图强。同时，也因多少受到外来数学思想方法的影响，十九世纪中期的中国传统数学出现了一个小的高潮，仅以函数的幂级数展开而论，从1845至1865的20年间，就有项名达、戴煦、李善兰、徐有壬、顾观光、邹伯奇、夏鸾翔等先①陈彦衡：《旧剧丛谈》。
后发表研究成果。李善兰的数学研究范围更广，在组合恒等式上的研究至今仍被国际数学界称道。
戴煦（1805—1860），浙江钱塘（杭州）人。其兄戴熙官为兵部右侍郎，但他淡于功名，绝意仕进，终生以研治数学为乐。他先与项名达为忘年交，校注古代算学著作，1845至1852年间，完成数学著作4种9卷，总名为《求表捷术》。其内容涉及对数造表方法、三角函数造表法、三角函数对数造表法。对数表的制作，若按《数理精蕴》的办法，“布算极繁，甚至经旬累月而不能求一数”①。他的工作是找到二项式，对数函数，三角函数的对数函数等一系列的函数幂级数展开式，成为造表的有力工具。在微积分未传入我国的当时，戴煦的工作是相当艰难而深入的。1845年，英国教士艾约瑟（J.Edkins，1823—1905）慕名求见，戴煦以“中外殊俗异礼”托故辞之。1860年，太平军攻克杭州，戴煦随其兄戴熙自尽。
徐有壬（1800—1862），浙江湖州人，历任云南按察司，湖南布政司，以至江苏巡抚。自幼对数学有浓厚兴趣，结交许多当时数学名家，著有《务民义斋算学》，在三角函数和反三角函数的幂级数展开式上有些新见解，自称其为“缀术”。1860年，太平军攻克苏州时被杀。顾观光（1799—1862），江苏金山人，以医生为业，兼通天文算学。身后汇刻有《武陵山人遗书》，在对数表制作，《周髀算经》校注上有所贡献。邹伯奇（1819—1869），广东南海人，对几何光学颇有研究，同时在函数表制作、计算尺的使用上做过探讨。夏鸾翔（1823—1864），浙江杭州人，与戴煦为世交。1963年游广州，与邹伯奇共研数学，主要工作为三角函数表的制作，以及圆锥曲线的综合研究。湖南的丁取忠（生卒年不详）著有《数学拾遗》，对一次同余式求解有所阐述。晚年在长沙古荷花池的白芙草堂，与左潜（？—1874）、曾纪鸿（1848—1877）治数学。他们也研究幂级数的展开，曾纪鸿用反三角函数的幂级数展开式求得圆周率的第24位准确数字。
在晚清数学家中，李善兰无疑是最杰出的一人。李善兰的主要数学成就有：尖锥术、垛积术、素数论。在西方的微积分未传入的情况下，李善兰独自用尖锥术发现幂函数的定积分公式、二次平方根的幂级数展开式，以及各种三角函数、反三角函数的幂级数展开式。他所使用的求对数的方法，比传教士带进来的方法要高明、简捷。一般认为，在李善兰的尖锥术的基础上，中国传统数学完全可以走上解析几何、微积分的近代数学的道路。
李善兰集前人之大成，在垛积术上有重大突破，其内容属于今之“组合数学”。他创造了三角自乘垛和乘方垛两类新的垛积，其中的组合公式()()()npppqnpqpqp+=+-=.2022被今人称为李善兰恒等式。晚清中国数学结果中具有一定世界意义的，恐仅此一端。
李善兰在素数论方面，证明了许多结果，其中包括法国数学家费马（P.Fermat，1601—1665）在1640年得出的一条素数定理：若ad-1能被素数N整除，则N-1能被d整除。
李善兰和伟烈亚力等合作翻译过大量西方科学典籍，成为近代中国科学的先驱和传播者。1868年，他应召到北京，在同文馆担任数学教席，官至三①王杨宗：《伟烈亚力》，载《中国古代数学家传记》（下册），科学出版社1993年版。品，但他淡于利禄，潜心于数学教学和研究。李善兰之后，中国传统数学再也没有出现有较大价值的成就。
大量翻译西方数学典籍伟烈亚力经营的上海墨海书馆首先大量翻译西方的科学典籍。1852年，李善兰和伟烈亚力相识，两人通力合作，先后译出《几何原本》后9卷（1858年），《代数学》（1859年），《代微积拾级》（1859年）等数学著作。《代微积拾级》是中国第一部微积分译作，影响巨大，其中使用的微分、积分、函数、级数、曲率等名词均始自此书，沿用至今。李善兰在翻译时用了一些西方数学的符号，但大量使用中文字母和自创的符号，读来十分困难。
第二次大量翻译科学典籍是在1865年曾国藩、李鸿章奏准设立的江南制造局。主持数学典籍翻译的是华蘅芳（1833—1902）。他是江苏无锡人，爱好数学，1861年到安庆曾国藩军中佐理洋务，然后到上海，在江南制造局供职。他除参加地学等书籍翻译之外，主要和英人傅兰雅合译数学著作。十余年间译书以下6种：《代数术》（1872年）、《微积溯源》（1872年）、《三角数理》（1877年）、《代数难题解法》（1879年）、《决疑数学》（1880年）、《合数术》（1887年）。其中《决疑数学》是我国第一本有关概率论的数学译作。与李善兰的译作相比，华蘅芳翻译的著作内容较为丰富，语言更为流畅，但使用的符号仍未有大的变化。
中日数学实力的逆转在十八世纪七十年代以前，日本数学一直在向中国学习。日本翻译和传播西方数学的时间也比中国稍晚。1859年，李善兰和伟烈亚力翻译的《代微积拾级》很快东渡日本。“18世纪60年代，日本和算家能读到的最好微积分书籍只有Loomis的《微积分》中译本（即《代微积拾级》）”①。
现在日本使用的数学名词有许多是从中国传去的，如微分、积分、函数、有理数、无理数、方程式等等，中日所用完全一样，其来源是《几何原本》、《代微积拾级》等中国译本相继传入日本。
但自1868年明治维新之后，日本曾有“废止和算，专用洋算”的指令性要求。1872年的学制令等文件，明文规定：“算术以洋法为主。”日本在重视工业发展的同时，重视基础科学包括数学的发展。1877年，菊池大麓自英国学习数学后归国，进入文部省改革科学教育。日本数学会在1877年成立，1877年东京大学成立理学部，其中有数学教授。1898年，高木贞治到德国向世界大数学家希尔伯特（D.Hilbert1862—1943）研习代数数论，日后解决了著名的类域论问题，为世界一流数学家。反观中国，自容闳1872年组织幼童出国留学，主要学习“军政，船政，步算，制造诸学”。十九世纪多批留学生中，竟无一人专习数学。洋务派提倡学习数学，响应者寥寥。同文馆的天文算学馆，学生中无人能超过李善兰。数学之落后，自是意料中事。1894年甲午战争之后，中国数学已明显落后于日本，李善兰时代的数学优势丧失殆尽。1898年之后，中国向日本大举派遣留学生，其中包括派人学习数学。①戴煦：《求表捷术》。
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