首页 -> 2006年第9期
清代中国读书人的数学知识
作者：李伯重
因为博学是这个时代的风尚，因此除了《野叟曝言》外，其他的“才学小说”如屠绅《史》、陈球《燕山外史》、李汝珍《镜花缘》等，也有类似的取向。这些“才学小说”的作者为了显示自己博学，力求将传统学术尽可能地包罗在其小说中，使得小说成为可读性与学术性的结合。就数学知识而言，《镜花缘》中也颇有表现，何炳郁在《从〈镜花缘〉试探十九世纪初期科学知识在一般士人中的普及》一文中对此已做讨论，兹不赘述。
再次，除了这些“才学小说”外，读书人拥有一些数学知识，也反映在清代前中期的其他通俗小说中。例如在《儒林外史》中，即使是像周进那样的冬烘先生，或者像匡超人那样的农家子弟，也都掌握了一定的数学知识，因此周进才会被商人雇去当书记记账，而匡超人则自己经营店铺作坊。
因此，可以说，《野叟曝言》中反映出来的那些情况具有一定的时代普遍性。换言之，十八和十九世纪初期的中国读书人掌握了相当的数学知识，是一个普遍的现象，因此才表现在野史小说中。这一点，应当说是毋庸置疑的。
那么，新式学堂出现以前，中国读书人的数学知识是从何而来的呢？
清初数学家陈世明说:“尝观古者教人之法必原本于六艺，窃疑数之为道小矣，恶可与礼乐侔……后世数则委之商贾贩鬻辈，士大夫耻言之，皆以为不足学，故传者益鲜。”清代中期数学家张豸冠则说：“数为六艺之一，古之学者罔弗能。自词章之学兴，而此道遂弃如土。虽向老师宿儒问以六经四书中之涉于数者，亦茫然不能解。”当时的学堂教育似乎不包括数学教育，但是在学堂教育中，至少可以认识记数文字、加减乘除等基本运算的名称及含义、主要计量（度量衡）单位以及大小、多少等数学基本概念，并学习到与计算有密切关系的历法、天文等方面的一些知识，这些知识反过来又促进了对计算方法的学习。有了这些起码的概念，在“九九歌”、珠算口诀等通俗数学教育手段的帮助下，学会加、减、乘、除四则运算并不是一件很难的事。
清代，中国数学出现了很大的进步，大大推动了数学教育。其中之一，是民间数学知识传播的进步，主要是珠算、笔算和口算（心算）方法的出现与普及。到了明代中期，算盘在江南已经颇为普及。清代劳乃宣编的《筹算蒙课》，内容即以珠算教育为主，表明珠算教育进入了启蒙教育。中国原来没有笔算，明代后期利玛窦把西方算法传入后始有。口算的基本口诀如现在小学生背诵的乘法口诀“九九歌”，早在春秋时代就已出现，到南宋时已变得和今日完全一样。但是这些口诀一直是为筹算服务的，因此口算是否已经出现并不清楚。到了清代，运用这些口诀进行口算（当时称为“嘴算”）才变得普遍。算学以及与数学关系密切的关于声律、医学、天文、舆地等的启蒙教材，也陆续出现于清代，是数学教育逐渐普及的表现。
这里，我们还要特别讨论一下《野叟曝言》中所反映出来的那些比较高深的数学知识（特别是那些与西洋数学有关的知识），到底是从何而来，以及为什么这些知识会传播到一般知识分子之中。
明清时期中国数学进步的一个重要组成部分，是西洋数学的引进和吸收。西洋数学自明代后期传入中国后，很快即为中国学界所接受。在传入的数学中，影响最大的是几何学。《几何原本》是中国第一部数学翻译著作，绝大部分数学名词都是首创，其中许多至今仍在沿用。徐光启认为对它“不必疑”、“不必改”，“举世无一人不当学”。其次是三角学，介绍西方三角学的著作有《大测》、《割圆八线表》和《测量全义》。《大测》主要说明三角八线（正弦、余弦、正切、余切、正割、余割、正矢、余矢）的性质，造表方法和用表方法。《测量全义》除增加一些《大测》所缺的平面三角外，比较重要的是积化和差公式和球面三角。
入清之后，西洋数学更受到朝野的重视。清初学者薛凤祚、方中通等从传教士穆尼阁学习西洋科学，编成《历学会通》和《数度衍》等，其中数学内容有《比例对数表》、《比例四线新表》和《三角算法》，介绍了英国数学家纳皮尔和布里格斯发明增修的对数以及球面三角、半角公式、半弧公式、德氏比例式、纳氏比例式等。对数的传入十分重要，它在历法计算中立即就得到应用。清初中国数学家中会通中西数学的杰出代表是梅文鼎。他是集中西数学之大成者，其数学著作有十三种共四十卷，对传统数学中的线性方程组解法、勾股形解法和高次幂求正根方法等方面进行整理和研究。他坚信中国传统数学“必有精理”，对古代名著做了深入的研究，同时又能正确对待西方数学，使之在中国扎根，对清代中期数学研究的高潮具有重要影响。与他同时代的数学家还有王锡阐和年希尧等人，也在中西数学的融合方面做了重要的贡献。
当然，在对推动中国学界接受西洋数学方面影响最大的，还是康熙皇帝。他除了亲自学习天文数学外，还命梅彀成任蒙养斋汇编官，会同陈厚耀、何国宗、明安图、杨道声等编纂天文算法书。一七二一年完成《律历渊源》一百卷，以康熙“御定”的名义于一七二三年出版。其中《数理精蕴》主要由梅彀成负责，分上下两编，上编包括《几何原本》、《算法原本》，均译自法文著作；下编包括算术、代数、平面几何、平面三角、立体几何等初等数学，附有素数表、对数表和三角函数表。由于它是一部比较全面的初等数学百科全书，并有康熙“御定”的名义，因此对当时学界和社会有一定影响。
到了乾嘉时期，中国传统学术达到顶峰。而乾嘉学派的治学方法，与近代西方的科学方法颇有相似之处，以致丁文江说：“许多中国人，不知道科学方法和近三百年经学大师治学方法是一样的。”胡适也“推崇清代经学大师，称为合于西方科学方法”。乾嘉学派的兴起，有的学者干脆就认为是受到西方科学的影响。而在当时的西方科学中，数学是最重要领域之一。因此乾嘉学派中的许多学者，都对数学有浓厚的兴趣。
受考据学的影响，乾嘉乃至道光时期中国学者在对先前引进的西洋数学进行进一步消化的同时，也出现了一个研究传统数学的高潮。焦循、汪莱、李锐、李善兰等人，都有重要贡献。其中李善兰在《垛积比类》（约一八五九年）中得到三角自乘垛求和公式，现在称之为“李善兰恒等式”。
清代数学家对西方数学做了大量的会通工作，并取得许多独创性的成果。嘉庆四年，阮元与李锐等编写了一部天文数学家传记《畴人传》，收入了从黄帝时到嘉庆四年的已故天文学家和数学家二百七十余人（其中有数学著作传世的不足五十人），和明末以来介绍西方天文数学的传教士四十一人。这种将中西数学家合在一起写的方法，表现了明清传入中国的西洋数学，已经与中国的传统数学融为一体，成为乾隆学术的不可分割的部分。由此来看，我们对于《野叟曝言》所反映出来的十八世纪中国读书人虽然与传教士没有交往，但对许多源自西洋的数学知识知之颇多的情况，也就不会感到诧异了。
由于数学知识的普及，因此清代读书人掌握了相当的数学知识也就是理所当然的了。特别是在夏敬渠所生活的江浙地区，由于教育最发达，精通数学的人士也最多。数学家王锡阐、项名达、戴熙、李善兰、华蘅芳（同时也是机械制造专家），以及天文学家陈杰、天文气象学家王贞仪、地理学家与人口学家洪亮吉、水利专家陈潢、兵器制造专家龚振麟、化学家与机械制造专家徐寿等，都是代表人物。他们的数学知识之精深，即使在当时的世界上也是数得上的。
简言之，在西方的新式学堂出现以前，中国的传统教育中就已包含着数学教育在内，而且由于大量引进的西洋数学知识已被有机地融入中国的数学，因此这种传统教育的内容绝非仅只是读四书五经和学写八股文。受过这种教育的人（亦即“读书人”），也当然并非尽都是范进、孔乙己一类冬烘先生。比较全面的说法，这种教育培养出来的读书人，既有范进、孔乙己一类庸人，也有梅文鼎、李善兰这样的科学英才。至于大多数读书人，其知识水平应当在这两个极端之间。而就江浙一带的情况而言，由于教育发达，大多数读书人不仅熟悉文史，而且也掌握了相当的科学知识，无怪乎博雅会成为时尚。在这样的背景下，像夏敬渠这样的下层知识分子也掌握了相当的数学知识并将这种知识写入小说以趋时示博学，也就不足为奇了。
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