首页 -> 2005年第6期
李淳风数学功绩简论
作者：陈 玲
李淳风是唐朝著名的天文学家和数学家,他是道士之子,是中国古代著名的道教学者｡他的父亲李播曾出家为道士,据《新唐书·列传第一百二十九方技》记载:“李淳风,岐州雍人｡父播,仕隋高唐尉,弃官为道士,号黄冠子,以论撰自见”｡这么说来,“李淳风出身于道士之家”①｡受父亲的影响,李淳风对阴阳五行有很深的造诣,“每占候吉凶,合若符契”②｡最令世人所津津乐道的是:相传唐太宗曾得一密谶,说宫中有“女武代王”,唐太宗想把可疑的人全部杀掉,李淳风却劝他如果这样滥杀无辜,太宗的子孙也必将被杀戮｡唐代后来果真有武则天当政,从而印证了李淳风的预言｡李淳风还深谙占星学,他所撰写的《乙巳占》就是这方面的代表作,“所以李淳风是一位‘道家人物’,后世道教甚至将他排入道教的神仙谱系之中”③｡
李淳风自幼就聪明机敏,“淳风幼俊爽,博涉群书,尤明天文､历算､阴阳之学”④｡封建王朝农业社会的性质决定了封建统治者极为重视天文研究,李淳风在唐王朝崭露头角是因为他对傅仁均所编撰的《戊寅元历》提出了颇有价值的修改意见,从而得到褒奖并进入太史局任职,开始了官方天文学家的生涯｡李淳风对传统浑仪加以改造制成的浑天黄道仪,创造性地将赤道环和黄道环组合在一起,解决了如何使黄道环与天空黄道相对应的难题,弥补了北魏太史候部铁仪的不足,对唐代浑仪的研制起了重要的带动和示范作用｡后来一行和梁令瓒所造的黄道游仪也是以李淳风的工作为基础的｡李淳风在天文学上的非凡造诣还表现在他制定了新历法《麟德历》,这部历法采用定朔法排历谱,结束了自何承天以来两百多年来有关定朔法和平朔法的论争,使历日与天象更为契合,“术者称其精密”⑤｡除修历外,李淳风自撰的书籍有《晋书》､《隋书》中的《天文志》､《律历志》｡高宗显庆元年(656),他还因修国史有功而被封为昌乐县男｡此外,他还参与了唐朝新修本草的编撰工作｡中国自古以来天算是一家,除上述外,李淳风在中国数学史上还留下了许多不朽的功绩,“隋唐之际在中国数学史上做出杰出贡献的道教学者首推李淳风”⑥｡
二､李淳风的数学功绩
我国很早就已经开始研究数学了,数的概念在我国的起源,可以一直追溯到原始社会｡“西汉时期,出现了专门的数学著作,特别是《九章算术》的完成,标志着中国古代数学体系的确立｡”⑦《九章算术》是中国传统数学最重要的著作,编定于公元前3—1世纪｡三国魏景元四年(263),刘徽曾为《九章算术》作注,全面证明了《九章算术》的算法,奠定了中国传统数学的理论基础,标志着中国传统数学理论体系的形成,其思想和方法对现代数学研究和教学仍具启迪作用｡
注《九章算术》除刘徽之外在中国数学史上影响最深的则是李淳风｡《九章算术》是我国较早的数学专著,同时也是自秦至汉代以来记录中国算学发展的一部总结性和代表性的著作｡全书共分九章,分别为方田､粟米､衰分､少广､商功､均输､盈不足､方程和勾股,收集了246个问题,有世界上最早的系统化的分数四则运算､联立一次方程式解法､开平方开立方的计算､一般二次方程式的解法､各种规则和不规则形状的面积和体积计算等等,都是当时具有世界领先意义的伟大成就｡尤其是以筹算求解联立一次方程式,正是近代矩阵解法的先驱｡
李淳风注释的古代数学典籍共有十部,“永隆元年十二月｡太史李淳风｡进注释五曹孙子等十部算经｡分为二十卷”⑧｡这十部算经包括,《九章算术》､《海岛算经》､《孙子算经》､《五曹算经》､《张丘建算经》､《周髀算经》､《五经算术》､《缀术》､《缉古算经》和《夏侯阳算经》｡李淳风注释十部算经,为唐朝的数学教育做出了突出的贡献｡唐政府对李淳风的注释极为重视,规定其为国子监(当时的教育部)算学馆的主要教材,即成为国家统编的教科书｡当时的科举考试中还设定了“明算”一科,考试范围就是算经十书,“显庆元年十二月十九日｡尚书左仆射于志宁奏置｡令习李淳风等注释五曹孙子等十部算经｡为分二十卷行用”⑨｡在国子监明算科里还设有“算学博士”､“算助教”｡唐朝明算科的学制,分为两组,每组十五人,共三十人｡学习期满后要进行考试,答对六条才算合格｡这十部算经的注释,“是中国唐初以前数学的总结,在中国数学史上意义十分重大”⑩｡算经十书不仅总结了汉唐几千年间中国算学高度发展的成果,而且还为我们了解当时中国数学发展的状况留下了宝贵的资料｡
其中,李淳风对《九章算术》的注释在数学史上的贡献尤大,主要表现在以下几个方面:
1.开立圆术
开立圆术在我国数学史上具有重要的地位,《九章算术》第四章少广章中展示了我国古代开立圆的方法｡古代称圆为“圜”或“平圆”,以表示平面的圆形｡古代称球为“丸”或“立圆”,以区别于“平圆”｡所谓开立圆是指由球的体积以开立方的方法求其直径｡《九章算术》开立圆术曰:
置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即丸径｡
用数学公式可表示为:d=16v球/9,其中球体积为V球,直径为d｡对此术李淳风注曰:
祖暅之谓刘徽､张衡二人皆以圆囷为方率,丸为圆率,乃设新法｡祖暅之开立圆术曰:以二乘积开立方除之,即立圆径｡其意何为?取立方棊一枚,令立枢于左后之下隅,从规去其右上方之廉｡又合而横规之,去其前上之廉｡于是立方之棊,分而为四｡规内棊一,谓之内棊｡规外棊三,谓之外棊｡更合四棊,复横断之｡以句股言之,令余高为句,内棊断上方为股,本方之数,其弦也｡句股之法,以句幂减弦幂,则余为股幂,若令余高自乘,减本方之幂,余即内棊断上方之幂也｡本方之幂,即内外四棊之断上幂,然则余高自乘,即外三棊之断上幂矣｡不问高卑,势皆然也｡然固有所归同硔殊者尔｡而乃控远以演类,借況以析微｡按阳马方高数参等者,倒而立之,横截去上,则高自乘与断上幂数,亦等焉｡夫叠棊成立积,缘幂势既同,则积不容异｡由此观之,规之外三棊旁蹙为一,即一阳马也｡三分立方,则阳马居一,内棊居二可知矣｡合八小方成一大方,合八内棊成一合盖｡内棊居小方三分之二,则合盖居立方亦三分之二,较然验矣｡置三分之二以圆幂率三乘之,如方幂率四而一,约而定之,以为丸率｡故曰丸居立方二分之一也｡等数既密,心亦昭晰｡张衡放旧,贻哂于后｡刘徽循故,未暇校新｡夫岂难哉,抑未之思也｡依密率,此立圆积本以圆径再自乘,十一乘之,二十一而一｡约此积今欲求其本积故以二十一乘之,十一而一｡凡物再自乘,开立方除之复其本数｡故立方除之,即丸径也｡
在这里,李淳风引用的祖暅的开立圆术就是根据体积求直径的方法,开立圆的公式其实误差很大,正确的应该是:d=6V/π,这一公式是祖冲之父子求得的｡在此,李淳风保存了祖冲之父子求球体积公式的正确方法及祖原理,十分有价值｡原文“幂势既同,则积不容异”中“幂”是截面积,“势”是立体的高｡意思是:界于二平行平面之间的两个立体,被任一平行于这二平面的平面所截,如果两个截面的面积常相等,则这两个立体的体积相等｡祖冲之在《大明历》中也曾提出“立圆”体积的正确公式,这比西方出现“卡瓦列利原理”早了1100年以上｡祖冲之父子的成就最早记载在《缀术》一书中,但《缀术》书失传后,祖冲之父子对于球体积的研究,幸有李淳风等的征引而得以流传到现在,这是李淳风注释《九章算术》中一个不可多得的贡献｡
[2]