首页 -> 2006年第2期
数学课程与教学改革中的“困境”及“解径”
作者：汤雪峰
“困境”一，学与教的内容，如何选择?
《全日制义务教育数学课程标准》的观点：
义务教育阶段的数学课程……应突出体现基础性、普及性和发展性，使数学教育面向全体学生，实现：——人人学有价值的数学；——人人都能获得必需的数学；——不同的人在数学上得到不同的发展。
学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，有利于学生进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流。
不同的观点：
●“不同的人在数学上得到不同的发展”，这里“不同的人”提法不妥，“发展”的具体内涵也不甚清楚，不好把握。课程的选择性不强，“不同的人学不同的数学”得不到落实。①
●这种出自良好愿望的“大众数学”，由于过分地追求“数学的大众化”，使得数学的内容、教师的数学水平以及数学教学的组织向低水平发展，表面上使更多的入学习了数学，实质上使所有入学习很少的数学……一个美好的口号，一个美好的愿望，一个美好的理论，未必获得理想的结果。②
●大量提供情境化与生活化，有些矫枉过正的倾向，“大众数学”不能搞成什么都不是的数学。我们要关注数学内容的联系，让学生体验到数学的本质。③
这些争论，使许多一线教师陷入了究竟应该给学生学什么样的数学这一“困境”。什么是“有价值的数学”?怎样让“人人都能获得必需的数学”、“得到不同的发展”?怎样把握好“生活化”与“活动化”的度?怎么样通过“数学化”凸显数学的“本质”?……在教学实践中，我们也看到：有些课上，由于对生活化、情境化方面的过分追求，导致非数学内容过多，数学课的教学效率下降。
“解径”：
数学知识都是有价值的，这种价值是否被人们所认识与运用，有赖于人们从事的事业和每个人的数学素养，有赖于科技、经济和社会的发展水平。数学知识自身都是有价值的，但不是说任何数学材料都是对于数学学习“有价值”的。例如这道题：某水池有一进水管，单独放水需20小时把空水池放满，有一出水管，单独排水需24小时放完。问同时打开进水管和出水管，几小时可以把水放满?有人认为此题没有价值，理由是：一个水管放水，一个水管出水，难道是傻子?再说也是对资源的一种浪费，不利于环境教育。其实现实生活中“同时打开进水管和出水管”的现象十分普遍，如：A.排队候场，不断来排队的人数和不断进场的人数。B．草场，不断生长的草和不断被吃掉的草。C．人体的新陈代谢，不断的补充和不断的消耗。D．家庭的收入和支出。E．社会人口的增减……
“同时打开进出水管”的问题，就是从这些现实问题中，选出一个形象化的代表，然后将它们“数学化”转化为纯数学的问题，这就是数学建模，这样更有利于学生感受数学的价值，认识数学的本质，防止“数学课程改革朝着淡化数学的方向走”。
对于学习内容，强调从已有的生活经验出发，我们也得辩证地思考。应看到“日常数学”既有一定的优点，同时也具有严重的局限性。如向两方无限延伸的直线，我们就无法在日常生活中找到它的现实原形。在日常生活中，我们直接看到的都是有限的东西，只有通过想象来理解和把握。不能处处要求从已有的生活经验出发。
对于“大众数学”，在西方只不过是某些学者的理想。在我国，数学教育“大众化”则是对数学教育提出了更高的要求，即要实现“人人接受高水平的数学教育”这个理想，真正做到“精英数学”与“大众数学”两手都要抓，两手都要硬，真正体现“因材施教”和“有教无类”。
“困境”二：学与教的方式，如何运用?
《全日制义务教育数学课程标准》的观点：
●有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆。动手实践、自主探索与合作交流是学生数学学习的重要方式。
●要向学生提供充分的从事数学活动的机会，帮助他信在自主探索和合作交流的过程中，理解和掌握数学知识和技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。
不同的观点：
●思考数学问题要很长的时间……在大学数学课堂里没有时间让学生去“合作发现”，主要是“教师讲解”。④
●“课堂气氛活跃了，学生学习数学的积极性调动起来了，但是数学效果反而下降，一节课下来，学生什么也没学会。”⑤
●数学知识(包括数学思想方法)是可以传授的，学校里的数学学习要以接受式学习为主。⑥
以上几种观点，是从不同的侧重点提出的，它们并不矛盾。可是，我们有些一线教师往往不知如何选择“接受学习”还是“发现学习”，陷入一味地追求“动手实践、自主探索与合作交流”的误区。
“解径”：
利用人类一切有效的学习方式，应该认识到“模仿、记忆以及训练”是数学学习的主要方式，而“动手实践、自主探索、合作交流”则是数学学习的重要方式，重要不等同于主要。比如，我们都明白“萝卜烧肉”，不能单纯地用萝卜和肉这两种主要原料，而“油”、“盐”、“酱”、“醋”、“糖”、“生姜”、“葱”等都是重要的佐料。
值得注意的是奥苏伯尔反复强调，认为接受学习必然是机械的，发现学习必然是有意义的，这是毫无根据的。无论是接受学习，还是发现学习都有可能是机械的，也都有可能是有意义的。如果满足了意义学习的条件，接受学习则是一种更为有效和切实可行的方法。因为发现法不但费时，并且任何人经验都是有限的，人类世界的发展史就是一个学习、接受和继承发展的历史。教师在讲授时可提供各种具体经验来弥补学生理解方面的困难和问题。
我曾在执教“三角形两边之和大于第三边”一课时，让学生思考“给你三根小棒一定能围成三角形吗?如果不一定，怎样的三根小棒才能围成一个三角形?”由于教师提供的素材有限(仅一种情况，要么能，要么不能)，加上学生的年龄、心理、认知基础等因素，学生的自主探索、发现学习十分困难，以至于数学活动进行了35分钟，学生还在云里雾里。
不久，我又执教了这节课。我先演示几种能和不能拼成三角形的情况(学生通过替代经验初步感知，是一种有意义的接受学习，同时为学生后面的“探究式”的发现学习提供必要的方法指导)。接着
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