首页 -> 2008年第12期
数学问题解决及其教学设计
作者：许镇辉
一、数学问题解决
数学问题解决是指间接应用数学概念、数学原理和方法，以思考、探索为内涵，以数学问题目标为定向的心理活动或心理过程，是人们在实践或理论学习中，面临新情境、新课题，而这些新情境和新课题用已有的知识和经验不能直接解决，并且自己又没有现成对策、答案或解决方法时，所引起的寻求处理数学问题的一种紧张心理活动。它不同于一般的练习和数学应用。
二、问题解决教学的理论基础
问题解决教学的数学教学理论，是针对我国目前数学教育现状，展望21世纪数学教育教学的需要，将“问题教学”、“问题解决”和“数学教学实际上是数学活动的教学”三种教育教学理论有机结合而成的。
“问题解决教学”的理论，借鉴并拓展了“问题教学”、“问题解决”、“数学教学是数学活动的教学”的理论，形成了如下的教学观：“问题解决教学”的数学教学是发展性教学的高级类型，在这种教学结构中，教与学的过程应包括经验材料的数学组织化、数学材料的逻辑组织化和数学理论的应用三个活动过程。教师通过精心设计“课题”(大问题)，使每个“课题”的解决过程包括上述三个数学活动过程。教师的主导作用主要体现在利用对话设计和认识性作业，给学生创设好“问题”(对于“课题”来说的小问题)解决情境，引导学生围绕“问题”展开学习活动等。学生的主体作用主要体现在进入“问题”解决情境后，进行探索式学习，并在“问题”解决过程中，获取知识、形成技能、发展能力。学生的探索式学习，在经验材料的数学组织化过程中，以发展直觉思维、合情推理为数学活动的主要内容。在数学材料的逻辑组织化过程中，以发展形式逻辑思维、合情推理为数学活动的主要内容。在数学理论的应用过程中，以提高数学知识的应用意识，发展辩证思维和数学表达能力为数学活动的主要内容。
三、问题解决教学原则
1 整体性和结构化。围绕数学课程目标对包括教材、校本课程、参考资料、媒体及教师自身的资源等，有效地进行课程开发和重组，以整体的、综合的思维方式组织课程内容，重视知识体系的内在联系和多重关系，结合学生认识水平和认知需要进行教学设计，优化认知结构，求得整合效应和有效迁移。同时，充分考虑课程的层次性和结构化，促进学生生命活动诸方面的内在联系、相互协调和整体发展。
2 预设性与生成性。预设性对课程实施起着定向、导航作用，避免偏离目标的无效学习活动。但如果预设性太强，会导致反应定势，出现教师“牵着”学生走的现象。课程的生成性要求为学生提供可选择的内容以及多层次、多类型的活动，满足学生对不同学习内容和不同学习过程的需要，展示个体思维特点及创造力。
3 探究性和有效性。问题解决教学以“问题”为起点，以“探究”为过程。探究是指教师不把构成教学目标的有关概念和认知策略直接告诉学生，而是创造一种适宜的认知合作环境，让学生通过探索发现有利于开展这种探索的学科内容要素和认知策略。将学生置于复杂的问题情景下，唤起学生对问题及其背景抽象过程的神秘感，调动问题解决的需求和欲望，将问题转化、进行策略选择、有效地表征等。数学问题解决能够有效地激发学生的内在学习动机，培养独立自主的意识和创新精神。
4 主导性和主体性。遵循“教师主导，学生主体”的教学原则。一方面教师要对课程资源进行有效整合和教学设计，另一方面学生从问题人手，处理信息，相互讨论或自我反省获得知识。
四、数学问题解决的教学设计
1 情境的设计。创设情境是数学问题解决教学过程的重要环节，情境的设计要有利于激发学生的求知欲和培养学生的探索精神，有利于建立学生的自信心和培养学生的合作精神。
(1)问题情境。教师要为学生创造一个适合自己寻找知识的意境，使学生经常处于“愤”和“悱”的状态，引导学生去做力所能及的事。教学过程中，先与学生一起对问题进行观察和磋商，逐渐造成这种情况——这个问题学生急于解决，但仅利用已有的知识和技能却又无法解决，形成认知冲突，这就激发了他们的求知欲。这个“问题”可以来自数学知识内部，也可以来自数学知识外部，尤其可以来自现实生活。在设计时，可根据所教的知识内容和学生的实际情况来拟定问题，要比较多地关注发生在学生身边的问题：融生活趣味和知识趣味于一体的问题。
问题情境必须与学生在数学上和文化上的成熟程度和经验相适应。在设计时，要让学生去体验真正的问题，真正的问题是一种情境，它比较复杂，是具有一定的挑战性的尚未解决的问题；同时，还要注意层次性，使对简单情境下的探究推广到另一个情境，或可用多种水平加以处理。问题情境还可以用口头、文字、事物、图画、图象形式以及多媒体进行模拟。
(2)情绪情境。创设情绪情境能培养学生的意志和自信心。当学生不能解决所提出问题时，可先设计一些作铺垫的问题，并在他们取得初步成功时及时给以鼓励。这时体验到的喜悦，可以激励学生为取得即将到来的胜利喜悦而克服新的困难。当一些学生不想解题，甚至不愿意理解这个问题时，教师要设法激起学生的好奇心，给他某种解题愿望，同时应当给学生一些时间，使他下决心来解决问题；当学生求解那些对他来讲并不太容易的问题时，要让他学会败而不馁，学会看到哪怕是微小的进展，学会开拓思路并积极进取。
2 问题设计。问题的设计是数学问题解决教学过程设计的关键，必须设计一些“好问题”，所谓“好问题”应该具有下面这些特点之一：
(1)一个“好”的数学问题应当具有较强的探索性，它要求人们具有某种程度的独立见解、判断力、能动性和创造性。正如波利亚所指出的：“我们这里所指的问题，不仅是寻常的，他们还要求人们具有某种程度的独立见解、判断力、能动性和创造精神。”这里所指的“探索性”的要求是和学生的实际水平相适应的。
(2)具有一定的现实意义与学生的实际生活有着直接的联系，有趣味和魅力，从而使学生逐步认识数学的价值和数学美，感受到数学学习是一种有意义的活动，而这对于调动学生学习数学的积极性是十分重要的。
(3)具有多种的解法或多种可能的解答，即开放性。一个好问题常常可以用许多种不同的方法来解决，问题解决的过程可以在代数、几何甚至是三角函数中求到解答，这样的问题可以使学生明白通常有许多途径去解剖一只“数学麻雀”，使学生明白解题不仅仅是简单地得到一个答案，而是发现数学的关联和思想。对于问题解决过程来说，用三种方法解答—个问题，比解答三个问题而每个问题用一种方法更有价值。
(4)具有一定的发展余地，可以推广或扩充到各种情形。也就是说，希望给学生的问题能够引出新的问题和进一步的思考，成为丰富的数学探索活动的起点，给学生提供“做数学”的机会。
(5)具有一定的启示意义，蕴含重要数学思想方法。也就是说，不仅问题本身是有价值的，而且解决问题所涉及的思维模式也同样有价值。它有利于学生获得有关的数学知识和思想方法，也能为问题解决策略的具体运用提供良好的素材。这不应该是所谓的“偏题”、“怪题”，目的是希望这些问题能够把学生引向真正的、诚实的、有价值的数学。
3 学生活动的设计。数学问题解决教学强调的是学生的自主学习活动。在整堂课中，什么时候让学生独立思考、独立操作、什么时候让学生讨论、交流信息，怎样组织讨论和交流等，教师在设计时都要作精心的安排。
(1)活动的顺序。学生活动通常可以这样安排：①理解问题，可由学生自己读题和理解，也可以师生一起观察和磋商；②寻找问题与已有知识的联系；③讨论和个体探究，可先个体探究后讨论，也可先讨论后个体探究，也可以个体探究和讨论一起进行；④交流结果和心得。
(2)教学形式的选择。问题解决教学主要通过个体探究和群体交流两种活动来进行，与此相适应的教学组织形式有全班、个人和小组三种。
(责任编辑 陈国庆)