首页 -> 2006年第6期
中小学数学题型设计的新导向
作者：杭 海 桂守才
问题解决式题型是用来培养中小学生数学问题解决能力和对该能力进行评价的一种题目类型。问题解决式题型通常是依照问题解决的理解问题、明确问题、探索问题解决方案、实施和评估解决方案的四个基本环节来分阶段编制数学题目的，这也是问题解决式数学题型与普通的数学题目最大的不同之处。普通的数学题目要求学生一次性完成从审题到解题的所有步骤，这对中小学生尤其是低年级学生来说是不科学的，没有考虑到他们身心发展的规律。下面笔者结合实际，按照问题解决过程的基本环节来对问题解决式题型的设计方法逐一进行探讨。
一、理解问题
理解问题是学生解决问题的初步环节，也是学生在做复杂的问题解决式题目的第一个步骤。解决任何问题，首要的是理解问题。搞不清问题属于哪一类型，是什么，我们也就无从下手。因此，对这一环节的训练是十分重要的。
１．归类题
数学问题是多种多样，类型各异的。因此遇到一道数学问题后，首先要做的是确定问题的类型。归类题是一种能很好地培养学生这一方面能力的题型。例如，在遇到具体的数学题目时，数学教师先提出“该题目是属于何种类型？”这一问题。然后让学生运用数学的学科专业术语和概念在脑海中检索该题的类型是代数题，还是几何题；是算术题，还是证明题；是面积题，还是距离——速度题；是比率题，还是平均值题……
这不仅对学生明确题目类型有帮助，更重要的是它能够使学生利用相关的知识来理解并解决数学问题。
２．明确相关信息题
数学题中并非每一道题都很明确的陈述出与问题相关的信息，学生在解题时需要通过分析把相关信息检索出来。教师在编制学生数学题目时，要使题目中既含有与问题相关的信息，也含有与问题无关的信息，并指导学生获取相关信息，排除无关信息。教师应注意，在设计这一题型时应将题目的考察重心放在学生能否明确与问题解决相关的信息是什么，并非是把问题解答出来。运用这一方法设计的题型就是明确相关信息题，它可以很有效地锻炼学生的审题能力。如：
例１：“一个水果批发商用７２４元买了４００公斤香蕉，再以１２２４元将这些香蕉卖出，请问他的利润是多少？”在解答此问题时要用到下列哪些数字？
ａ）４００、７２２ ｂ）７２４、１２２４
ｃ）４００、１２２４ｄ）４７２４、４００、１２２４
此题就是一道典型的明确相关信息题。本题中与问题相关的信息是以７２４元买入香蕉，以１２２４元卖出香蕉，无关信息是４００公斤香蕉，换句话说，要解决利润问题所需要的数字是７２４和１２２４，而不是４００。
二、明确问题
在理解问题后，很自然的就是要明确问题的本质，即问题的真实意图，并将问题用相关的形式表征出来，以利于下一步解决问题。明确问题是审题与做题的过渡环节，对学生这一环节能力的培养是至关重要的。
１．转译题
不管哪一类数学题，它都是从题目编制者的角度来陈述的。如何将出题者的语言转述为学生自己的语言是解决数学问题过程中相当关键的一步。转译题的作用正是帮助学生提高对数学问题的转译和改述能力，形成自己对题意的清晰而正确的理解，以便更好地解答题目。转译题的设计方法是向学生陈述题目的题干，并对有助于学生解答该问题的关键词语加以强调，让学生用自己的语言来解释这些词语。例如，有这样一道应用题：
例２：正方形地板砖的边长是４０厘米，若每块砖的价钱为０．８元，那么一个长为１０．４米，宽为６．８米的矩形房间铺满地板砖总共需要花多少钱？
此类题型不要求学生立即对题目进行作答，而是要求学生用自己的语言来重述问题的已知条件和解题目标。为了方便学生对问题进行转译，教师可以采用多项选择的方式来编制该类题目。如：
Ａ．重述问题的已知条件
————请指出下列哪一句话是真实的。
１）房间是１０．４～６．８米的长方形
２）每块地板砖的价钱是６角
３）地板砖的面积是０．３～０．３平方米
４）房间的短边是６８厘米
Ｂ．重述问题的解题目标
———本题要你求什么？
１）房间的长与宽
２）每块地板砖的价钱
３）在房间铺设地板砖所需的总价钱
４）每块地板砖的面积大小
２．表征题
数学题目中的问题在陈述时有的很明确，而有的却并不明确，需要学生通过思考来对问题进行重新表征。表征题就是要求学生对所给出的问题通过作图、列表等方式来重新表征的一种题型。它能够对问题的顺利解决起到事半功倍的效果。该题型考察的重心应放在学生是如何重新表征该问题的，而不是放在有没有正确地解决问题上。
例如，给学生呈现下面的Ａ图，要求求出正方形的面积。以Ａ图的形式来解决该题，难度较大。若能指导学生以Ｂ图的形式来表征该题，则学生解决问题的难度要小很多。Ａ、Ｂ以不同的形式给出同样的信息，但以Ｂ的形式表征问题更容易促进问题的解决。
三、探索问题解决方案
探索问题的解决方案就是要找出解决数学问题的方法并加以实施，最终将问题解决。这一环节是问题解决的实质阶段，相关的数学题型如下：
１．多解题
这一题型在我们日常的数学教学中经常出现。它要求学生对题目给出两种或两种以上解答方法，最好是以图解、表格等形式表现出来。这样做的原因是图表的形式较为直观，易于被初中生和小学生所接受。此外，教师还可以只提供解决某个问题的一种正确方法，让学生再举出或选出解决该问题的其他方法。
多解题的编制还可以以另一种方式呈现。教师可以给学生一个有两种或两种以上解决方法的问题，让学生选出他认为正确的解决方法并说明理由。在学生能够自如地解决这种题目之后，再提供给学生一个有两种或两种以上正确解决方法的问题，并要求学生解释为什么这些方法都是正确的。然后，让学生选择最佳的解题方法，并要求学生说明其理由。例３就是该种题型的一个范例。
例３：阅读下列材料，然后回答问题。
李明有一相册，里面有５张空页，每页可放９张相片，李明需要多少张相片才能把相册放满？１）用两种以上方法来回答上面的问题，在解答问题的过程中，请分别使用数字和图表的方式显示你是如何得到答案的。
２）然后分组讨论哪种解题方法最佳。（９×５＝４５张）
下面是一些学生的解题方法：
该题的目的是让学生了解乘法是解决倍数问题的最佳方法。线段法和画图法虽比较直观，但操作起来比较复杂；而加法的方式显然较为繁琐。
这种题型与传统的直接要求学生用两种或多种方法来解题的题型相比，要更容易为学生所接受。尤其是对低年级学生而言，效果尤为明显。
２．解法类推题
这一题型的设计方法是较为新颖的。它是培养学生通过解决一道题目从而获得解决一类题目能力的题型。这种题型对于学生在大脑中形成对不同类型题目的明确而清晰的解题思路是非常有帮助的。如：
例４：“火车以４５公里时的速度行驶了３小时，请问它行驶了多远？”
下列哪一个问题可以用与上题相同的方法来解答？
１）２元钱可以买３支铅笔，请问王涛用１０元钱可以买到几支铅笔？
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