首页 -> 2008年第7期
关于数学“陷阱”题的讨论与思考
作者：郑庆全 涂荣豹
一、 数学学习与教学中的“陷阱”题的特征
“陷阱”一词在数学学习与教学中使用的初衷是要学生注意在某些内容中易使人犯错的地方，这是数学“陷阱”题的根本特征。因此设置“陷阱”题的出发点是好的，但是如果像有些研究者那样把在数学试题中设置“陷阱”题作为一般考试的目的，这就需要认真地斟酌一番了。因为如果把在数学试题中设置“陷阱”题作为一般考试的目的，这就有可能在数学学习与教学中大力渲染设置“陷阱”题，这显然有悖于数学教育教学的目的。不可否认，由于数学学科本身的逻辑严谨性的特点，在数学课程的某些内容中确实存在一些易错的地方，即所谓的“陷阱”题。这种“陷阱”题的易错特征是由两方面决定的。一是某些数学课程内容的逻辑严谨性的需要；二是由于学生个人缺乏这种严谨性或忽视这种严谨性以及学生个体所形成的不严谨的思考处理问题的习惯。由此可见，在数学的课程内容中确实客观存在所谓的“陷阱”题。这里要强调的是，这种所谓的“陷阱”题并不一定是人为设置的，即“人为设置”性不是数学“陷阱”题的本质特征。例如，由于数零的特殊性使得许多题目都有可能作为“陷阱”题；又如数学题目中的隐含条件也是所谓的“陷阱”题。
二、 数学学习与教学中一些“陷阱”题的实例分析
有许多研究者直接或间接地发现或设置了一些数学“陷阱”题，由于数学学科的严谨性特点，这类例子在数学的一些题目中广泛地存在。尽管一线的数学教师直接或间接地发现或设置了大量的数学“陷阱”题，但是缺乏一些深入的分析。这里拟对一些个别的数学“陷阱”题进行分析，以便对数学“陷阱”题的本质有一个深刻的认识。
例1已知α、β为方程x2-2mx+2m-3=0的二实根，求α2+β2的最小值。
错解:∵α、β是方程x2-2mx+2m-3=0的二实根，
上述解法中，“陷阱”或易错之处在于忽略了最小值存在的前提是必须有变量，而变量通常是有确定的范围的。本题中的变量无疑是m，其范围应保证方程x2-2mx+2m-3=0存在二实根，忽略了这一前提的做法显然是错误的。本题跳出 “陷阱”或化除错误的关键在于学生本人，由于题目本身的复杂性，对学生的解题水平要求比较高，这种情况下，如果学生个人的元认知监控能力不足的话，出现上述的顾此失彼的现象就是正常的了。学生虽然做错了本题，但如果令其解答如下题目，他很可能不会出错。
已知f(x)=4x2-2(2x-3), 且x≤-1或x≥3。求f(x)的最小值。
这说明学生是因为其忽略了应保证方程x2-2mx+2m-3=0存在二实根这一前提隐含导致错误的。因此对跳出 “陷阱”或化除错误的建议是要求学生解题是要全面准确地审题，写完解法后要认真地反思。本题在数学教学中要强调的是注意培养学生的数学解题中的元认知监控能力，认真地反思自己的解题过程中的各个环节，确保解题的万无一失。总之，要使学生养成严密思考问题的习惯，才能准确地解答这种较为复杂的题目。
正解:∵α、β是方程x2-2mx+2m-3=0的二实根,
∴△≥0，即4m2-4(2m-3)≥0,得m≤-1或m≥3,
例2过点Ａ(-1，2)作直线ｌ，使它在ｘ轴、ｙ轴上的截距相等，求直线ｌ的方程。
这里的“陷阱”或易错体现在利用公式、定义时忽视其成立(适用)的条件。直线的截距式方程形式适用的条件是直线不过原点且直线不与两坐标轴平行。显然当直线在两坐标轴上的截距均为0时即过Ａ点和原点的直线ｙ+2ｘ=0也符合题意。因此符合题意的直线方程是ｘ+ｙ-1=0或ｙ+2ｘ=0。
对于数学学习与教学中设置的“陷阱”可能还有许多形式。由于篇幅所限，这里仅列举以上两例数学“陷阱”题。通过对以上两例数学“陷阱”题的深入分析可以看出，数学“陷阱”题的易错性特征或者易错的原因主要表现在以下几个方面：一是忽略前提或条件；二是忽略隐含性的条件；三是学习者解题的“思维定势”；四是有些数学课程内容（比如数学概念或数学命题）阐述的不确定性，导致学习者误解；五是学习者本人的粗枝大叶、理解题意片面。
三、 如何正确看待数学学习与教学中设置“陷阱”题
关于数学学习与教学中设置“陷阱”题的问题，笔者的观点是：是否设“陷阱”题取决于具体的条件性因素和学生的倾向性因素，不能一概而论。
正如前文所说，在数学课程的某些内容中确实存在一些所谓的“陷阱”题，但不可能太多。因此完全反对设置“陷阱”题是不合理的。那么是不是需要大量地设置“陷阱”题呢？也不是。因为数学教育教学是育人的大工程，人为设置过多的“陷阱”题会使学生变得过于慎小慎微，缺乏创新的勇气和胆量，从而可能失去创造发明的机会，这与我们的教育目标要造就大量的创新人才是格格不入的。至于设“陷阱”题取决于具体的条件性因素和学生的倾向性因素的问题，以下将进行专题的论述。这里特别强调一点，一般来讲，数学学习与教学中设置“陷阱”题要比考试设置的“陷阱”题的机会大一些，笔者主张，除了特殊的考试目的之外，考试题目中一般不要刻意设置“陷阱”题。
“……适当的‘陷阱’对学习数学来说是不可或缺的，对锻炼学生的思维也是有益的。……在教学中，一些人为设置的 ‘陷阱’却让人不敢恭维。仔细看来，这样的陷阱不是为了帮助学生思维的发展，而是为了难倒学生，为了‘整’学生。”这是不可取的。总之，笔者的观点是对于数学学习与教学中是否设置“陷阱”题的观点是反对 “绝对化”观点和“一刀切”处置的方式。
通过一些论文来看，在数学教学和评价中确实对数学“陷阱”题的重视程度有点“过”。显然，数学课程的部分内容易错的“陷阱”题比起体现数学本质的题目来讲要次要得多。数学“陷阱”题的刻意设置对学生发展不利。
四、 数学学习与教学中设置“陷阱”题的条件性因素和学生的倾向性因素
数学学习与教学中设置“陷阱”题问题的条件性因素和学生的倾向性因素是指有时候为了特殊的目的或针对特殊的教育对象而采用设置这种“陷阱”题能很好地达到目的或收到良好的教育效果。
所谓的条件性因素是指呈现“陷阱”题的教学条件，这些条件主要指题目涉及的数学知识学生在学习过程中出错的几率很大、即使学生出现了错误对学生本身的心理发展或数学学习的情感和态度也没有太大的影响、课堂教学的条件允许、特殊的考试目的等。在这些条件下呈现一定量的“陷阱”题，会对培养学生的理性思维、严密的逻辑推理能力以及分析问题的能力，帮助学生获得“去伪存真”、在复杂问题中排出干扰、发现数学问题的本质的能力。这样的过程可能真正对学生来讲充满了挑战，学生在解决问题后能够获得精神上的愉悦感，从而体验数学的魅力所在。
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