首页 -> 2008年第9期
一次函数在生活中的应用
作者：蔡建锋
一、 用水用电问题
例1、为了鼓励节能降耗，某市规定如下用电收费标准：每户每月的用电量不超过120度时，电价为a元/度；超过120度时，不超过部分仍为a元/度，超过部分为b元/度。已知某用户五月份用电115度，交电费69元，六月份用电140度，交电费94元。
（1）求a，b的值；
（2）设该用户每月用电量为x（度），应付电费为y（元）。
①分别求出0≤x≤120和x＞120时，y与x之间的函数关系式；
②若该用户计划七月份所付电费不超过83元，问该用户七月份最多可用电多少度？（2007年福建省三明市）
解：（1）根据题意，得
115a=69，120a+20b=94.解这个方程组，得a=0.6，b=1.1.
（2）①当0≤x≤120时，y=0.6x.
当x＞120时，y=120×0.6+1.1（x-120），即y=1.1x-60.
② ∵83＞120×0.6=72，∴y与x之间的函数关系式为y=1.1x-60.．
由题意得：1.1x-60≤83所以 x≤130.
∴该用户七月份最多可用电130度．
【评析】随着人民生活水平的提高，家庭电器化已基本普及，为鼓励居民节约用电用水，节能降耗，采取了居民用电、用水分段计价的办法进行收费。解决此类问题的关键是把实际问题建构为一次函数的数学模型，并通过数学的方式把问题解决。
二、 通讯网络问题
例2、李明因工作需要，每月要发送一定数量的手机短信，于是向同事老王和小张询问有关的费用标准。
老王说：“我平常发短信不多，我用拇指卡。”说完递给李明一张宣传单（见下表）。
小张说：“我发短信很多，用至尊卡更省钱，也获赠彩铃。”他画出至尊卡的费用y（元）与短信x（条）的函数关系图（图1）。请解答下列问题：
（1）拇指卡的费用（y）元与短信x（条）的函数关系是____________；（温馨提示：费用=月租费+短信费）
（2）在图1，中画出（1）中的函数图像；
（3）求BC的函数解析式；
（4）请对以上两种收费标准进行分析，帮助李明理智选择一种实惠的短信服务；
（5）解释线段AB所表示的实际意义。（2007广西省河池市）
解：（1）y=0.06x+8，
60≤500×0.05+（x-2100）×10%≤175
（2）略，作图正确
（3）设BC的解析式为y=kx+b，由BC过点（100，12）和点（250，24）
得100k+b=12250k+b=24解方程组得k=0.08，b=4
因此BC的解析式为y=0.08x+4
（4）根据图像可知，当每月发的短信少于67条或超过200条时，用至尊卡。
（5）线段AB表示至尊卡的最低费用是12元。100条短信是免费的。
【评析】为了鼓励人们促进通讯消费，电信、移动、联通都推出各种名目新颖的优惠套餐和促销活动，鼓励消费者扩大消费，达到多盈利之目的。人们在选择各类消费形式时，要用数学的方式加以比较后，再作出最后的选择。
三、 医疗保险问题
例3、为了增强农民抵御大病风险的能力，政府积极推行农村医疗保险制度．我市某县根据本地的实际情况，制定了纳入医疗保险的农民住院医疗费用的报销规定：享受医保的农民可在定点医院住院治疗，由患者先垫付医疗费用，住院治疗结束后凭发票到县医保中心报销．住院医疗费用的报销比例标准如下表：
（1）设某位享受医保的农民在一次住院治疗中的医疗费用为x元（x＞100），按规定报销的医疗费用为y元，试写出y与x的函数关系式。
（2）若该农民在这次住院治疗中的医疗费用为1000元，则他在这次住院治疗中报销的医疗费用和自付的医疗费用各为多少元。 （2007年邵阳市）
解：（1）y=（x-100）×60%=0.6x-60（x＞100）
（2）当x=100元时，y=0.6x×1000-60=600-60=540（元）
1000-540=460（元）
答：他在这次住院治疗中报销的医疗费用和自付的医疗费用各为540元和460元。
【评析】在新农村建设中，各级政府切实为农民办好事、办实事，为解决农民看不起病的实际问题，为了增强农民抵御大病风险的能力，政府积极推行农村医疗保险制度，使农民也享受医保待遇，这充分体现党和政府对人民群众的关怀。
四、 义务纳税问题
例4、新《个人所得税》规定，公民全月工薪不超过1600元的部分不必纳税，超过1600元的部分为全月应纳税所得税额，此项税款按下表分段累进计算：
费先生5月份的工薪为1800元，他应缴纳税金多少元？
（1） 设某人月工薪为x元（1600＜x＜2100)，应缴纳税金为y元，试写出y与x的函数关系式，
（2） 若费先生5月份缴纳税金不少于160元，也不多于175元，试问费先生该月的工薪在什么范围内？（2007年岳阳市）
解 （1）（1800-1600）×5%=200×5%=10（元）
（2）（x-1600）×5%=0.05x-80（1600＜x＜2100）
（3）160≤500×0.05+（x-2100）×10%≤175
3450≤x≤3600
答：费先生该月的工薪在不少于3450元，也不多于3600元范围之内。
【评析】我国的税收是取之于民，用之于民，公民有义务纳税的义务，通过本题的考试对学生进行了税收知识的教育。本题以修改后的新《个人所得税》规定为背景，通过建构分段函数的数学模型，对不同范围内的月工薪进行计算，得出有关数据。
五、 营销盈利问题
例5、某早餐店每天的利润y（元）与售出的早餐x（份）之间的函数关系如图2所示，当每天售出的早餐超过150份时，需要增加一名工人。
（1）该店每天至少要售出 份早餐才不亏本；
（2）求出150＜x≤300时，y与x的函数解析式；
（3）要使每天有120元以上的盈利，至少要售出多少份早餐？
（4）该店每出售一份早餐，盈利多少元？
（5）除上述信息外，你从图像中还能获取什么信息？
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