数学的诗与诗的数学

数学的自然美

 集合与函数

日落月出花果香,物换星移看沧桑.

因果变化多联系,安得良策破迷茫.

……

    日出月落,花果飘香,物换星移,沧桑变化,都是现实世界中变化的事物,而这些变化都包含了因果关系.函数就是描述现实世界因果关系的一种数学模型,是破除迷茫的良策之一.

指数函数、对数函数

与幂函数

晨雾茫茫碍交通,蘑菇核云蔽长空.

化石岁月巧推算,文海索句快如风.

……

    光线在晨雾中按指数函数快速衰减,所以“晨雾茫茫碍交通”.铀核裂变时放出的中子数和能量都按指数函数快速增长，引起核爆炸.由化石的放射性碳含量与化石年龄之间的对数函数关系可以推算出化石的年龄.将海量数据经过合理编排,可以使搜索资料昕需的工作量是数据量的对数函数,当数据大量增长时工作量增长很少,因此能做到“文海索句快如风”.指数、对数函数与现实生活中的这些现象密切相关,是我们身边活生生的数学.

立体几何

锥顶柱身立海天,高低大小也浑然.

平行垂直皆风景,有角有棱足壮观.

    本教材每章一开始都有一幅章头图.本章的章头图是一幅海边的风景画,建筑物与碧海蓝天交织成美丽的风景.这首诗就是对这幅画的“看图写诗”.现实的建筑物呈现出形状、大小各异的几何体,有锥体,有柱体.几何体中又进一步蕴含了立体几何中的直线、平面等基本图形,呈现出平行、垂直等基本的位置关系.立体几何就是这样自然地从现实世界中抽象出来的.在叙述数学的同时,这首诗也包含了一些哲理：事物是丰富多彩的,有大有小,有平行有垂直,并非只有一种形态而排斥另一种形态.

解三角形

近测高塔远看山,量天度海只等闲.

古有九章勾股法,今看三角正余弦.

……

    测塔看山,量天度海,好大的气派!可以想象一个顶天立地的巨人,拿着无比巨大的尺子和量角器在那里量天度海.我们不必长成那样的巨人.我们只要利用解三角形的知识就能做到量天度海.数学知识可以使我们成为巨人.

数列

玉兔子孙世代传,棋盘麦塔上摩天.

坛坛罐罐求堆垛,步步为营算连环.

……

    这里都是讲的历史上有关数列的著名例子.“玉兔子孙”讲裴波拉契的兔子数列.“棋盘麦塔”讲古印度国际象棋发明者向国王要奖赏的故事：他所要奖赏的麦子总数是2的0到63次幂所组成的等比数列的和,这样多的麦子堆成的“麦塔”可以从地球一直堆到太阳上去，说“棋盘麦塔上摩天”一点都不夸张!堆垛和连环都是中国古代数列的著名例子.这些历史故事都很有趣,当然数列也就很有趣.

不等式

天不均匀地不平,风云变幻大江东.

入水光线改方向,露珠圆圆看晶莹.

……

天地之间,到处是不相等的例子.天不均匀,地不平坦,这才是常态.风云变幻,大江东流,万物都在变化,变化前后就不相等.这里不但举出不等式的具体实例,而且指出不相等才是普遍的、绝对的,而相等反而是特殊的、相对的、近似的.后两句举的是极大极小值的著名例子,“入水光线改方向”说的是光的折射,光在入水后改变方向,发生折射,所花的时间反而最短.“露珠圆圆”,球形的露珠在保持体积不变的情况下表面积最小.极小值小于其它值,这也是不等式问题.