首页 -> 2007年第7期

把握新课程数学教学题型特点

作者：辛　春

　　新课程改革要求数学教学要“为学生提供发展平台、适应学生的个性发展，注重提高学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识、注意适度形式化、体现数学的文化价值”等。这一教学理念极大地冲击了传统教学的价值取向，给数学题型注入了新的活力，使数学教学更加注重创设真实的情境、联系生活实际、激活学生已有的知识、强化情感体验等方面。由于建构题目的观念、途径和方法发生了改变，数学题的教育功能和数学文化内涵也发生了变化。这些变化丰富了数学的问题背景，进一步强化了数学的育人功能，昭示了数学文化的亲切面容。
　　下面以苏教版高中数学教材为例，结合自己在教学实践中的体会，谈谈新课程背景下数学问题的主要变化和特点。
　　
　　（一）开放性
　　
　　新课程着力培养学生的发散思维能力和应用数学的意识，强调让学生动手实践、自主探索、合作交流。数学开放题是达此目的的重要手段和载体，它有利于培养学生的创造性思维，把学生从单一的、僵化的思维模式中解放出来，也为数学应用和学生的个性发展提供了平台。
　　例1（普通高中数学课程标准37－38页例1）教育储蓄的收益与比较。要求学生收集本地区有关教育储蓄的信息，思考以下问题。第（8）题：不用教育储蓄的方式，而用其它的储蓄形式，以每月可存100元，6年后使用为例，探讨以现行的利率标准可能的最大收益，将得到的结果与教育储蓄比较。
　　对于这个问题，每个学生都可以自由地选择储蓄的形式，按照要求进行探讨，也可以进行合作交流，答案不唯一，在呈现的形式上具有开放性。
　　
　　（二）探究性
　　
　　数学探究是指学生围绕某个数学问题进行自主探究、学习的过程。这个过程应包括：观察分析数学事实，提出有意义的数学问题，猜测、探究适当的数学结论或规律，给出解释或证明。在问题的探究过程中，需要学生的心智、情感等多方面技能的支持以及多感官的参与，包括尝试、操作、想象、归纳、抽象、概括等。学生正是在探究实践中学会了创造。
　　例2（苏教版必修4第83页，15题）设向量a=(cos75°,sin75°),b=(cos15°,sin15°),试分别计算a·b=|a|·|b|cosθ及a·b=x₁x₂+y₁y₂。比较两次计算的结果，你能发现什么？
　　本题要求学生计算a·b=|a|·|b|cos?兹, 以及a·b=x₁x₂+y₁y₂，一种是的数量积定义，另一个是向量的数量积的坐标表示，学生都可以根据已学的知识比较熟练地进行运算。通过探索发现有cos（75°－15°） ＝cos75°cos15°+sin75°sin15°这一结论，而这一结论正是后面两角和与差的余弦公式的特殊化。从而为以后的学习埋下了伏笔。
　　
　　（三）人文性
　　
　　数学是人类文化的重要组成部分，是社会进步的产物，也是推动社会发展的动力。新课程改革要求通过高中数学的学习，体会数学的科学价值和人文价值。可见新课程关注数学的人文精神。应通过数学问题的构建，来提高自身的文化素养和创新意识。
　　例３（苏教版必修５第35页，例1）第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每四年举行一次。奥运会如因故不能举行，届数照算。（1）试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式：（２）2008年北京奥运会是第几届？2050年举行奥运会吗？
　　本题通过现代奥运会的历史介绍引入，容易引起学生的兴趣，同时又让学生了解了奥运史。新课程背景下的数学常会通过各种政治性、经济性、社会性以及环保、交通等方面的典型材料构造题目，使学生了解社会，关心人类的发展，这些都能激发学生对数学的情感。当然，我们还可以借助于分类训练题的分层练习，使各种水平的学生得到发展，享受到成功的喜悦。
　　
　　（四）趣味性
　　
　　根据学生的心理特点和审美需要，选取和生活联系密切、生动有趣的素材，从而增强数学问题的趣味性，培养学生对数学的积极情感。产生乐学的态度。
　　例４ （苏教版必修4第69页，15题）中国象棋的半个棋盘上有一只“马”，开始下棋时，它位于A点，这只“马”第一步有几种可能的走法？试在图中画出来。它能否从点A走到与它相邻的B点？它能否从任一交叉点出发，走到棋盘上的其他任一交叉点？
　　
　　
　　（五）启智性
　　
　　新课程倡导在广阔的生活背景下，把握数学结构的本质，提取其中鲜活的、富有想象力的原型，从中提炼、构建数学问题。通过这样的数学问题，训练学生思维的敏捷性，让学生从中感受到数学的亲和力和数学的智慧。
　　例５（苏教版必修4第118页，16题）由倍角公式cos2x=2cos²x-1.，可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式。对于cos3x，我们有
　　cos3x=cos(2x+x)=cos2xcosx－sin2xsinx＝（2cos²x－1）cosx－2(sinxcosx)sinx=2cos³x－cosx－２(1－cos²x)cosx=4cos³x－３cosx．
　　可见cos3x可以表示为cosx的三次多项式。
　　一般地，存在一个n次多项式Pn(t)，使得cosnx=Pn(cosx)，这些多项式Pn(t)称为切比雪夫多项式。请尝试求出P4(t)．即用一个cosx的四次多项式来表示cos4x.
　　
　　
　　 （六）挑战性
　　
　　新课程注意选择具有思考性、挑战性的问题，学生往往需要通过观察、尝试、分析、推理来探索解题的途径和方法。学生在“愤”、“悱”的状态下油然生出对数学的情感，激发出自身的数学潜能。
　　例6（苏教版必修4第21页）若角?琢的终边与角?茁的终边关于直线y=x对称
　　
　　本题需要学生通过画图、观察、分析、推理、探究、讨论才能有所发现。具有一定的挑战性，能激发学生的斗志，培养克服困难的勇气与战胜困难的信心。