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初中数学教学中培养学生合情推理能力探究
作者：陈美英
[关键词]初中数学教学 合情推理能力 培养
（一）合情推理的概念及意义
1.合情推理对数学自身发展和学生发展的意义。所谓合情推理是指根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)、实验和实践的结果以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程。其基本模式包括归纳模式、类比模式、统计模式等。
G·波利亚说，数学的创造过程与任何其他知识的创造过程一样，在证明一个定理之前，先得猜想、发现出这个定理的内容，在完全作出证明之前，先得不断检验、完善、修改所提出的猜想，还得推测证明的思路，把观察到的结果加以综合，然后加以类比，一次又一次地进行尝试。在这一系列的过程中，需要充分运用的不是论证推理，而是合情推理。牛顿说：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。”许多数学问题、数学猜想，包括著名世界难题的解决，往往是在对数、式或图形的直接观察、归纳、类比、猜想中获得方法的，而后再进行逻辑验证。同时随着问题的解决，使数学方法得到提炼或数学研究范围得到扩展，使数学发展前进一步。费马通过对勾股定理的研究大胆的猜想出费马大定理。在长达几个世纪的探索中，数学家们的创造过程都蕴含着合情推理的成分，诸如欧拉定理、哥德巴赫猜想、四色问题等。因此，从某个方面说，合情推理促进了数学的发展。
2.合情推理对学生发展的意义。G·波利亚反复呼吁：只要我们能承认数学创造过程中需要合情推理、需要猜想的话，数学教学中就必须有教猜想的地方，必须为发明做准备，或至少给一点发明的尝试。虽然论证推理是数学的特殊标志，学生应当掌握，但是，合情推理是数学创造工作赖以进行的必需技能，为了在数学上取得真正的成就，就得掌握合情推理。对于一般学生或以数学为业余爱好的学生，也必须学习和体验合情推理。
（二）初中数学教学中培养学生合情推理能力的必要性
数学教育中注重创新教育已成为国际数学教育的主流，学生的合情推理能力与其创新能力密切相关。初中阶段是学生思维发展的关键期，在《义务教育阶段数学课程标准》中，对第三个学段（初中阶段）学生数学推理（包括论证推理和合情推理）的具体要求是：具有合理选择信息解决问题的能力；学会根据问题的需要收集有用的信息；能进行合理的推测、简单的归纳和大胆的猜测，并加以检验；能合理的安排解决问题的过程。长期以来，数学教学注重采用“形式化”的方式，发展学生的演绎推理能力，忽视了合情推理能力的培养，影响了学生创新能力的发挥，不适应现代高科技社会、信息化社会发展对人才的需要。联系有关调查结果显示的中国学生科学测验成绩较差的现实，不能不使我们感到加强合情推理能力的培养已经到了刻不容缓的地步。因此，“既教证明，又教猜想”，培养学生合情推理能力，是开发学生创造性思维的需要，是全面提高学生优秀文化素质的需要。
（三）培养初中生合情推理能力在数学教学中的实施
近年来，合情推理能力开始引起数学工作者的注意，如何培养学生的合情推理能力，特别是培养义务教育阶段初中学生的合情推理能力，开拓其创新意识，是一个值得研究的现实课题。能力的发展不同于知识与技能的获得。能力的形成是一个缓慢的过程，有其自身的特点和规律，它不是学生“懂”了，也不是学生“会”了，而是学生自己“悟”出了道理、规律和思考方法等。这种“悟”需要在教学活动中进行，因而教学活动必须给学生提供探索交流的实际空间，组织、引导学生经历观察、试验、猜想、证明等数学活动过程，并把合情推理能力的培养有机地融合在这样的“过程”之中。
《标准》将初中数学内容按学段分为四个领域：数与代数、空间与图形、统计与概率、实践与综合应用。这些内容都为发展学生的合情推理能力提供了丰富的素材。所以数学教学中要设置现实的、有意义的、富有挑战性的问题，鼓励、引导学生参与“过程”；要充分利用教学素材，恰当地组织、指导学生的学习活动，从而有效地发展学生的合情推理能力。
1.在“数与代数”中培养合情推理能力。在“数与代数”的教学中，计算要依据一定的“规则”——公式、法则、推理律等，因而计算中有推理（算理）；现实世界中的数量关系往往有其自身的规律，用代数式、方程、不等式、函数刻画这种数量关系或变化趋势的过程，也不乏分析、判断和推理。对“数与代数”部分，在教学过程中有很多内容可以通过渗透合情推理的手段来培养学生的合情推理能力。
例如：数的绝对值求法（归纳）
教师利用数轴让学生观察，在一定的情境中给出了绝对值的定义后，设置以下计算。
求下列各数的绝对值：
（1）1，2，3，4，5，6，7，8，9
（2）0
（3）-1，-2，-3，-4，-5，-6，-7，-8，-9
问题：一个数的绝对值与它自己有什么关系？怎样用式子表示？（学生总结）
（1）/正数的绝对值是它本身；
（2）/0的绝对值是零；
（3）/负数的绝对值等于它的相反数。即
在“数与代数”中还有很多内容教学时都可以锻炼学生的合情推理能力。如合并同类项（类比乘法分配律）；同底数幂的乘法法则（归纳）；同底数幂的除法（类比同底数幂的乘法）；平方差公式的发现（归纳）；分式的乘方（类比积的乘方）；分式的基本性质、分式的乘除法（类比分数）；分式的约分、最简分式（类比分数）；分式的加减乘除、通分等（类比分数）；同类二次根式（类比同类项）；同类二次根式的加减 （类比同类项的合并）；二次根式的加减（类比整式的加减）；二次根式的乘除法（类比整式的乘除法）；因式分解（类比因数分解）；不等式的性质（与等式的性质类比）；解一元一次不等式（类比解一元一次方程）；发现函数（一次、二次、反比例）的性质（归纳）等。
2.在“空间与图形”中培养合情推理能力。在“空间与图形”的教学中，既要重视演绎推理，又要重视合情推理。即使在平面图形性质（定理）的教学中，也应当组织学生经历操作、观察、猜想、证明的过程，做到合情推理与演绎推理相结合。与原来的数学教学大纲相比，《标准》加强了空间几何的有关内容，并给学生“利用直观进行思考”提供了较多的机会，如生活中的立体图形，展开与折叠，从不同的方向看图形等内容。
例1. 由正方形搭成一个几何体，从正面看（主视图）和从左面看（左视图）分别为：
你能摆出这个几何体吗？
例2. 如图，第二行的图形绕虚线旋转一周，就能得到第一行的某个图形，请你用线连一连。
学生在实际的操作过程中，要不断地观察、比较、分析、推理，才能得到正确的答案。这个过程中就锻炼了学生的合情推理能力，同时也有助于学生空间观念的形成。
在“空间与图形”的教学中，可以有意识的培养学生的合情推理能力的内容还很多，如平行线的判定（归纳）；三角形的内角和定理（归纳）；多边形的内角和定理（归纳）；等腰三角形的性质和判定（归纳）；等边三角形的性质和判定（归纳）；角的比较与线段比较类比；角的度量单位与时间的度量单位类比；角平分线的性质与线段的垂直平分线的性质类比；平行四边形的性质定理的探索；特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）的性质与平行四边形类比；梯形的中位线与三角形的中位线类比；三角形的外心与三角形的内心类比等。
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