首页 -> 2008年第3期
让学生在数学学习反思中成长
作者：叶春泉
一、数学学习反思及其教育功能
数学教学过程中，反思历来具有重要的地位和作用。数学学习反思是学生在完成数学认知活动后，对自身的认知活动过程，以及活动过程中所涉及的有关事物的学习特征的分析、评价和自我调节的过程。它是数学学习活动的重要环节，也是数学学习的主要方式之一。荷兰著名数学家和数学教育家费赖登塔尔教授指出“反思是数学思维活动的核心和动力”，“通过反思才能使现实世界数学化”。美籍数学教育家波利亚也说，“如果没有了反思，他们就错过了解题的一次重要而有效益的方面”，“通过回顾所完成的解答，通过重新考虑和重新检查这个结果和得出这一结果的路子，学生们可以巩固他们的解题能力”。
在教学中，我们常常看到有不少学生做完一道题后不假思索，急于做其余的题目，以为这样能力就得到提高了。玻利亚在《怎样解题》中把解题过程概括为“审题—探索—表达—回顾”四个环节，明确指出解题回顾是解题过程的最后一个环节。然后在实际教学中师生都重视读题审题、分析题意，如何去探索、寻找解题思路，却常常忽略了“解题回顾”这个环节，发挥不了“解题回顾”反思活动的教育功能。其实一个数学问题的解决并不等于会解这道题目，而应该更深一步去挖掘题目中隐含的条件，命题的目的，所涉及的知识要点和数学思想方法，进一步探讨解题过程的思维方式是否正确、合理、严谨，解决问题的策略是否巧妙，是否还有其他的解法，本题的解法和结论能否进一步推广？多年的教学经验表明大部分学生缺少这一重要环节，未能形成良好的数学学习反思习惯。对孔夫子的名言“学而时习之”中的“习”，有人解释为复习，有人解释为实践，其实我们在学习数学的过程中，解释为“反思”可能更有一番新意。苏格拉底说过：“没有反省的人生是没有意义的人生”，我们是否也可以说，没有反思的数学学习是没有意义的学习呢?
当今社会，人不仅要努力学习，而且要善于学习，才能取得学习的成功。学会反思，才能对自己的学习过程、学习方法进行监控，才能为自己的学习效果承担责任。实施新课改的关键是帮助学生形成正确的学习方式。在《数学课程标准》中第三学段(7一9年级)的问题解决部分明确提出：“通过对解决问题过程的反思，获得解决问题的经验”，这表明数学学习反思问题已经得到重视。数学学习反思是学生的一种重要的数学元认知能力，是学生进行高水平、高效率、高质量的数学认知所必不可少的环节和本领。它得益于教师的精心培育，发展和成熟于学生的不断实践之中，对学生数学素质提高和终身发展具有特别重要的意义。初中是九年制义务教育的最后阶段，又处于整个基础教育的中段，学生的学习习惯、学习方式都是在这个阶段逐渐形成并具备持久的影响力，因而在这一阶段培养学生的数学学习反思习惯有着极其重要的作用和意义。
学习反思具有如下教育功能：①情感、态度、价值观方面：诸如培养实事求是的态度和理性精神；良好的反馈信息、谨慎，细心等习惯；激发好奇心和求知欲；自我反思性评价。②常规数学思维能力方面：诸如归纳、猜想和合情推理；数学联结与数学洞察；理性思维与构建体系。③数学创新能力方面：诸如提出数学问题和质疑能力；建立新数学模型并用于实践的能力；发现数学规律的能力；推广现有数学结论的能力；将不同领域的知识进行数学联结的能力。
二、示范：在例题教学中引导学生反思
数学被称作“思维的体操”，揭示了数学的本质是思维。数学教学就是数学思维活动的教学。数学的思维训练通常是以解题教学为中心展开的。数学综合题大都源于课本又高于课本，因此在教学中不能满足就题论题，要注意变式训练，要多角度、多途径、全方位地对题目进行分析、挖掘，将所学知识串连起来，要求学生不仅会用常规方法解，还要学会解后的反思。
1.反思之一：一题多解，触类旁通
现代考试是以速度和准确率取胜，成功与否又取决于是否以最简单的方法获得最完美的答案，即最佳方法。要达到这一水平，必须在平时的解题训练中，养成良好的反思习惯，在众多的解法中取其精华。
[例1]一件工作要在计划时间内完成，若甲队独做，可如期完成；若乙队独做，就要超期3天完成。现由甲乙两队合作两天后，甲有任务，剩下的由乙去做，刚好在规定时间内完工。求这件工作计划的天数。
教师可以这样引导学生：对于工程问题分两类：一类是工作量具体的工程问题，一类是工作量不具体的工程问题。对于前者，通常在工作量、工作效率和工作时间三个量中，一个量是已知，一个量为所求，一般找第三个量的相等关系。而对于后者，工作效率抽象，工作量零散，学生找相等关系会比较困难。提示学生，此题属于哪一类问题？如果是后一种可从下列三方面入手：
从完成这件工作的时间顺序找相等关系；从参与者各自完成的工作量找相等关系；由于甲的加入可如期完工，若乙独做，要超期3天，说明了什么?
若设此件工作所需天数为x，对于每一种情况列出的方程分别为：
通过从不同角度、不同层次上提出解决问题的多种方法，不仅培养了学生的求异思维，教师也为学生学会反思做了表率，长期的潜移默化，学生必形成良好的反思习惯。
2.反思之二：一题多变，以点带面
在教学中，我们要认真研究分析，挖掘那些知识的枢纽，再从例题出发向外辐射，把和该题目有关的知识及可能的解法融入其中，形成认知网络或让学生体会到“以不变应万变”、“多题可为一解”的数学艺术，并在不断的反思中逐渐从题海中解脱出来，形成能力。
[例2] 分解因式：x2+3x-4
对于此题，可再提出以下问题进行探究:
变式一：计算（x2+3x-4）÷(x+4)
变式二：当x=1时，求x2+3x-4的值；当x=-4时呢？你发现了什么？
变式三：若x2+3x-k能被x-2整除，求k的值。
变式四．解方程：x2+3x-4=0
通过问题的提出，调动学生的探究热情，促进学生的积极思维，使学生对因式分解有较全面深刻的认识，也为学生学会反思打下深刻烙印。
教师不仅在例题讲解中一题多变，在讲解每一个新知识时，也要引导学生反思，找出和旧知识的联系，以便形成知识网络。
三、授法：在探讨学法中引导学生反思
达尔文指出：“最有价值的知识是关于方法的知识。”学生只有掌握最佳的学习方法，才能进行创新性学习，而教师的引导则是至关重要的。初中生由于年龄特征及数学认知结构水平的限制，往往表现为对数学基础知识不求甚解，不善于对自己的思路进行检查，解题时常常是一错到底；不对自己的思考过程进行反思，不会分析、评价和判断自己的思考方法的优劣，也不自觉地找出和纠正自己的错误；不能从自己的思考过程中提炼出其中蕴涵的数学思想方法，不能发现其中的知识点之间的联系，导致自己的数学知识系统系统性、结构性差。因此，为了提高学生数学学习的效率，真正培养学生的数学素质，教师应该有意识的进行反思技能的讲解。
在解决问题的过程中，教师还可以采用出声思维的方法暴露自己的思维过程，解完题后带领学生一起分析自己思维过程中走过哪些弯路，遇到哪些困难，是什么原因造成的，有什么规律可吸收等等，这其实是获取元认知的过程。
[2]