首页 -> 2006年第7期

让抽象变得显然

作者：李尚志

千金。我们今天没有必要完全重复当年发明这些知识的过程，更没有必要去重复他们走过的弯路。但是，如果我们的学生只是去死记硬背这些定义或定理的条文，而对这些条文的来龙和去脉毫不了解，不了解它们产生的背景，不知道它们有什么用处，不了解这些抽象的概念和结论所能代表的一些具体例子，就不能体会这些定义和定理的深刻含义和强大威力，反而觉得它们莫名其妙，枯燥乏味，学起来困难，学了也不知道有什么用处。
　　鉴于这种认识，我在讲授线性代数课时形成了如下的教学模式：不是从定义出发，而是从问题出发展开课程内容。围绕线性代数的主要内容，精选了一些有重大意义而又浅显易懂的问题作为组织课程内容的主要线索。引导学生一起来分析这些问题，尝试建立一定的数学工具来解决这些问题。这实际上也就是数学建模的过程——将所要解决的问题(实际问题或理论问题)用适当的数学语言加以描述，转换为数学问题(即数学模型)，用一定的数学工具(已有的工具或发明新的工具)来加以解决，再将所得到的数学解翻译成为原来问题的解。在解决原有问题的过程中又产生新的问题，需要建立新的概念、方法和技巧。这个过程本来是这些知识当初建立的过程，也是学生今后搞科学研究和应用要经历的过程。我们不是将前人得到的知识灌输给学生，而是引导学生重新经历一次发明这些知识来解决问题的过程。这样做的好处是：不只是背诵叙述知识的条文，而是体会到这些条文的来龙去脉，体会到这些知识的原创性的想法和实质，提前接受了从事科研工作的训练，培养了创新意识和素质。
　　现在我们要建设创新型国家，培养具有创新精神的人才是一项重要任务。对于培养创新精神，有一种看法认为大学低年级学生基础知识不够，还谈不上创新，只有到研究生阶段才能培养创新精神和素质。其实，即使到了硕士研究生阶段，也很少有人能做出真正具有创新性的研究成果，主要还是在为以后做出创新性成果打好基础。而培养创新精神和素质，也完全可以从本科生低年级就开始。低年级大学生学的基础课内容，对人类来说是已有的知识，可能还是几百年前发明的知识，但对这些学生来说却是新的知识。让他们将这些知识重新发明一遍，虽然发明出来的东西对人类不是新的成果，但对他们自己却是发明创造的一种模拟和演习，是一次创新的实践，对于培养创新精神和素质很有好处。
　　我们首先选取了怎样解多元线性方程组来作为要解决的第一个问题，这是线性代数的重大问题之一，而且与中学数学中解二元一次方程组的加减消元法自然衔接，学生容易接受。我们将中学数学对方程的变形提高到方程组的同解变形，将加减消去法提高到方程的线性组合、线性方程组的初等变换。由于解线性方程组只用到加减乘除四则运算，在讨论方程组的系数与解之间的关系时很自然引入了数域的概念。在将字母略去不写之后很自然地引入了数组向量来表示线性方程，用矩阵来表示线性方程组，用矩阵的初等行变换来解线性方程组。矩阵的初等变换无疑是整个线性代数最重要的计算手段，借助于解线性方程组这一重大问题让学生得到了充分的训练。
　　讲了线性方程组的解法之后，我们提出讨论线性方程组中方程的个数与解集的大小之间的关系问题。以此为线索，以自然的方式引出了线性相关、线性无关、秩、基、维数等一批最重要而又最抽象难懂的概念，以方程作为向量的重要例子展开了对线性空间的主要内容的全面讨论。我们不是先研究了抽象的线性空间的性质再应用到各种具体空间中去，而是反过来，先对数组空间得出了这些性质，然后指出对这些性质的证明其实不依赖于数组空间的特殊性质，而是只依赖于加法和数乘的运算律(8条公理)，因此可以适用于定义了加法和数乘的任何其他对象——抽象的线性空间。这不但使抽象的线性空间的定义的引入比较自然，而且对于什么是数学的抽象、怎样进行数学的抽象、怎样由直观而不严格的想法(方程的个数、解集的大小)建立严格的数学概念(线性相关、线性无关、秩、维数)提供了一个重要的范例，让学生在以后的学习和研究中可以模仿。在这一章的最后一节“更多的例子”中，利用子空间的思想求斐波那契数列的通项公式、设计幻方，利用同构的思想得出拉格郎日插值公式、中国剩余定理，都是应用抽象的代数概念来解决问题的很好的例子。这些例子都有另外的专门的方法和技巧来解决，而在我们这里却不需要学习任何专门的方法和技巧，只需要将线性代数中的最简单的基本思想适当地应用，问题就迎刃而解。
　　建立了线性空间的概念，就可以从几何的背景引入行列式。以往的行列式教学中有—件怪事：学生从空间解析几何中知道了三阶行列式可以代表平行六面体的体积，却不知道二阶行列式可以代表平行四边形的面积。我们将n元线性方程组解释为—千几何问题：由n个已知向量线性组合出另—个已知向量：x1a1+…+xnan=β，求组合系数x1，…，xn。通过对2元一次线性方程组所对应的几何问题的分析和解答得到了2阶行列式以及二元一次方程组的Crammer法则，再将它推广到了n阶行列式及n元线性方程组的Crammer法则，将n阶行列式看成n维“体积”，将行列式中某一列的代数余子式组成的向量看成其余各列的“外积”。从几何的观点看来，行列式的定义和各种性质都显得理所当然，容易接受。
　　代数和几何相互渗透不可分割，这是线性代数的一个基本特点，也是我主持的课程和编写的教材的一个重要特点。线性代数名曰代数，其实也是几何。在某种意义上可以说：空间解析几何是3维空间的线性代数，而线性代数是＄Sn＄维空间的解析几何。线性代数的主要内容，可以用“空间为体，矩阵为用”来概括。它研究的对象是由向量组成的线性空间，这是几何对象。研究的工具则是矩阵，这是代数工具。学生如果能够将关于向量空间的几何问题转化为矩阵的问题，用矩阵运算加以解决，再“翻译”回几何的语言得到答案，就算是对线性代数的基本理论和方法有了一个较好的掌握。几何与代数紧密不可分割，是同一个事物的两个方面。然而这两个方面也各有所长，各有所短。几何的优点是形象直观便于理解，缺点是不便于计算；矩阵的优点是便于计算，缺点是不便于理解。因此，在处理问题时要发挥它们各自的长处，适当回避它们的缺点：几何观点主要用来建模，将几何语言转换为矩阵语言之后再用矩阵计算来解决问题，然后再用几何观点加以理解和解释。当然，也有很多问题可以不用矩阵计算来解决，而用几何推理来解决。对这方面的例子，我们同时给出了矩阵计算和几何推理两种解决方法。在多数情况下，用矩阵来计算有比较“死板”的现成方法，容易掌握，类似于解析几何方法；用几何推理比较灵活多变，比较有趣，然而掌握起来更困难一些，类似于综合几何的证明方法。对初学者，我们还是提倡他们先掌握将几何问题转化成矩阵、通过矩阵运算来处理的方法，在此基础上再去自由发挥，追求更为灵活多变的几何方法。
　　以上所说的指导思想和具体做法是在多年的教学实践中逐步形成的，还需要在今后对更多的学生的教学实践中进一步完善。教材出版之后，也还有待于接受使用此教材的其他教师的教学实践的检验。

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