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构造法解题技巧及类型探微
作者：张 鑫
五、构造方程
在遇到一些处理等量性的问题或一些计算问题时，若一个量不能或难于直接求得，只要设法导出它所满足的方程，通过解方程使问题得到解决的方法叫做构造方程法。对于构造的方程可以根据问题的需要利用求根法、韦达定理法、判别式法、方程讨论法和代数学基本定理等方法来解题。
例8：若：a+b+c=m， + += ，a，b，c互不相等，求证：a，b，c中必有一个等于m。
分析：若将a，b，c看作为未知量，由条件可知其和为m，两两之和ab+bc+ca= ，这样就可以设出abc后，按三次方程的韦达定理构造出根的方程。
证明：令abc=n，则ab+bc+ca= ，因此a，b，c是方程t3-mt2+ t-n=0的三个根，方程（t-m）（t2+ ）=0有一个根t1=m，即a，b，c中必有一个等于m。
六、构造函数
在解决某些数学问题时，运用函数概念和性质构造一个适当的辅助函数，把问题转化为研究这个辅助函数性质的解题方法叫做构造函数法。函数是数学知识的中心之一，方程可以看作是函数值为零的情况，不等式可以看作是两个函数之间的不等关系，因此，方程和不等式都是函数的特殊表现形式。构造函数的前提和基础是熟悉函数的概念，牢固掌握各类初等函数的性质。构造函数的过程要求我们敏锐地观察、正确地判断、合理地选择适当的函数，并准确运用函数的性质。有些数学问题只要将其中某些变化的量建立起联系来构造函数，再利用函数性质就能解决问题；有些问题实质上与函数某个性质有关，可以归结为研究相关的函数的性质，便可构造辅助函数来解决问题。
例9：求证：对于一切实数x，有：
≤ ≤7
证明：构造函数y= ，现只须证： ≤y≤7。
这实际上就是求函数的值域问题，采用判别式法。
∵ y（x+3x+4）=x2-3x+4
∴ （y-1）x2+y+1+3x+4（y-1）=0
x∈R，故△≥0，即
9（y+1）2-4（y-1）2•４≥0，化简，得：
7y2-50y+7≤0，即（7y-1）（y-7）≤0
于是 ≤y≤7。
例10：已知a，b，c，d，e∈R，且满足：
a+b+c+d+e=8，a2+b2+c2+d2+e2=16
试确定e的最大值（美国第7届中数学竞赛试题）：
解：由于a+b+c+d=8-e，a2+b2+c2+d2=16-e2
根据上式构造以a，b，c，d为系数的二次函数作为辅助工具手段，从中转化出e的不等式。构造二次函数：
f（x）=4x2+2（a+b+c+d）x+（a2+b2+c2+d2）
=（x+a）2+（x+b）2+（x+c）2+（x+d）2≥0
由于二次函数的二次项系数4＞0，f（x）≥0所以△≤0即得：4（a+b+c+d）2-16（a2+b2+c2+d2）≤0
由已知条件得：4（8-e）2≤16（16-e2）
解得：0≤e≤ ，当a=b=c=d时，由emax= 。
七、构造公式
例11：求证：cot ?琢-8cot ?琢=tan ?琢+2tan 2?琢=4tan 4?琢
证明：试构造一个倍角递推公式，易证
cot ?琢-tan ?琢=2cot 2?琢 （1）
递推：2cot ?琢- tan ?琢=4cot 4?琢 （2）
4cot 4?琢-4tan 4?琢=8cot 8?琢（3）
以上（1）、（2）、（3）式相加整理得：cot ?琢-8cot 8?琢=tan ?琢+2tan 2?琢=4tan 4?琢成立。
八、构造解析式
在解题时通过构造一个适当的关系式来帮助探求解题思路的方法叫做构造解析式法。利用这种方法往往可以带来很大的方便。构造解析式的一般模式是：依据问题的特征，构造一个与之有关的关系式，用来代替原问题或使原问题简化，促使原问题得到彻底解决。
例12：求证： ++ + +…+ =2n
证明：因为等式的左边是二项展开式各项系数之和，所以，不难联想构造表达式
（a+b）2=an+an-1b +…+bn
要证的等式为展开式当a=b=1时的特例，令a=b=1则展开式变为2n = + + + +…+ ，即原式得证。在这里，利用二项式定理，把问题转化为a=b=1 的特殊情况来证明，从而使问题大大简化。
九、构造数列
在解题时根据题目已知条件通过构造适当的数列来解决问题的方法叫构造数列法。利用构造数列法的前提是灵活运用数列的概念和性质，找到题目的已知条件或结论与数列的关系，再利用数列知识解决问题。
例13：已知Sin?兹+Cos?兹= ，?兹∈（0，?仔）则Cot?兹的值是＿＿＿＿。（1999年高考题）
解：由条件Sin?兹+Cos?兹= ，构造等差数列：Sin?兹， ，Cos?兹，设其公差d，则：Sin?兹= -d，Cos?兹= +d
由Sin2?兹+Cos2?兹=1，可得：
（ -d）2+（ +d）2=1，解得d=+ 。
∵ 0＜?兹＜?仔， ∴ Sin?兹＞0，故d= （舍去）
∴ d=- ，Cot?兹= =（ - ）/（ + ）=-
利用构造法的解题没有一个绝对统一的一般模式，它需要更多的分析，类此，归纳，判断，同时能激发人们的思维与发散思维。构造法的解题过程的大致模式为：
运用构造法的思想解题需要扎实的基础知识，由此及彼的丰富联想能力和较强的思维能力，在具体解题过程中，需要仔细审题，弄清题意，借助联想，构造出新的数学形式，使所求的问题发生变化。
从以上举例不难看出用构造辅助问题方法解决数学问题，是屡见不鲜的。我们虽不能说它是万能的，但可以恳切地说，它是一种实用性强、具有一定普遍意义的解题方法。
参考文献：
[1]刘心华,张淼.中学数学学习方法[M].哈尔滨:黑龙江科学技术出版社,1989.
[2]王培德.数学思想应用及探究——构建数学[M].北京:人民教育出版社,2004.
[3]和平,徐明.中学生数学学习方法[M].西宁:青海人民出版社,2004.
[4]翟连林等.高中数学综合题一题多解[M].北京:北京出版社,1991.
[5]李玉程,林秀清.巧用构造数列法,妙解三角题[J].数学通报,2000,(4).
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
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