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构造法解题技巧及类型探微
作者：张 鑫
[关键词]构造法 数学思想 解题方法
在数学学习中，如何寻求解题途径，是一个经常遇到的重要问题。解决一些比较复杂的问题，往往需要把已有的知识和方法采取分解、组合、交换、类比、限定、推广等手段进行思维的再创造，构造新的式子或图形来帮助解题，这就称为构造法。
古希腊数学家欧几里得不仅是欧氏几何的奠基人，而且还是数学构造法的创始人。在《几何原本》中，他第一次用构造法巧妙地证明了数论中以他的名字命名的基本定理“素数的个数是无穷的”。历史上不少数学家，如高斯、欧拉、拉格朗日等人，都曾用构造法成功地解决过数学上的难题。用构造法解题的巧妙之处是通过构造一个与原问题有关的辅助问题来解决原问题。如果辅助问题比原问题更简单，更直观，这种思考问题的方法就会成功。下面举例说明构造法在中职数学解题中的具体应用。
一、构造命题
当论证某些命题感到没有直接依据或比较困难时，可以通过构造其等价命题、有关引理或辅助命题的办法，以求问题的解决。
1.构造等价命题。
例1：求证：面积等于1的三角形不能被面积小于2的平行四边形覆盖。
分析：将命题用简炼数学语言表达为“若S△PQR=1，SABCD<2，则△PQR不都在ABCD的内部。”显然，直接证明这个命题比较困难，因此，可转化为它的等价命题：“如果△PQR在ABCD的内部，则S△PQR≤S?荠ABCD”来证明。
证明：过P作AD的平行线交AB、CD于N、M（如图1），显然：
S△PQK≤ S?荠ANMD，
S△PPK≤ S?荠NBCM，于是：
S△PQK+S△PPK≤ S?荠ABCD，即
S△PQK≤ S?荠ABCD。
2.构造辅助命题。
例2：已知 ﹤ ﹤ ﹤… （其中所有字母均表示正数），求证： ﹤ ﹤ 。
分析：本题要证以上两个不等式同时成立，
即 ﹤ 与 ﹤ ，
要证明不等式 ﹤ 成立，可转化为证明以下辅助命题均成立： ×b1=a1， ×b2=a2， ×bn=an，由已知易知，以上各辅助不等式均成立，则原不等式得证。
证明：∵﹤ ﹤ ﹤… ，（字母均为正数）
∴×b1=a1， ×b2﹤a2，…， ×bn﹤an 。
以上不等式相加得：
（b1+b2+…+bn）﹤a1+a2+…+an ，
∴﹤
同理可证： ﹤ ，于是原不等式成立。
3.构造引理。
例３：设椭圆方程为 + =1，试求它的中心轨迹关于点M（－１，１）对称图形的轨迹方程。
引理：已知曲线方程f（x，y），则它关于点M（x0，y0）对称的曲线方程是f（2x0-x，2y0-y）=0（证明从略）。
解：设椭圆中心为（x，y），根据题意，有
x=2t
y=-t2
消去参数得椭圆中心轨迹方程为：
f（x，y）=x2+4y=0
由引理知，它关于M（－１，１）对称图形的轨迹方程为f（-2-x，2-y）=0，
即：（-2-x）2+4（2-y）=0，
化为：（x+2）2=4（2-y）即为所求轨迹方程。
例４：过点A（１，２）的直线l与双曲线x2- =1交于两点p1，p2，求线段p1p2中点p的轨迹方程。
引理：过定点P（x0，y0）的动直线l与二次曲线C：F（x，y）=0相交弦的中点轨迹方程是：
F（x，y）=F′（x0，y0）（x，y），（证明从略）。
解：由引理可知，p点轨迹方程为：
x2- -1=2x- -1
整理得：2x2-y2-4x+y=0即为所求轨迹方程。
二、构造模式
在解决数学问题时，如其条件或结论与我们原来所学过的定理、公式、恒等式形式雷同，可通过联想、类比，借助定理、公式、恒等式使问题得到解决。此方法叫做模式构造法。在数学中有一些结论（如公式、不等式等），可用作解决“外形”相近的其他数学问题的“模式”，三角恒等式就是被广泛采用的一种模式。
例５：求函数y= 的值域。
分析：借用著名的柯西不等式作为“模式”：
（ aibi）2≤（ ai2）（ bi2）
等号当且仅当 = =…= 时成立。
“模式”特征是把aibi“分成”ai与bi的单项平方和，“一个括号”转化为“两个括号”（亦可逆向转换）。
求y2的值域，设法使sin2x与cos2x相结合。
改写y=（1-y）sinx+（3-2y）cosx，
据柯西不等式有：
y2≤[（1-y）2+（3-2y）2]（sin2x-cos2x）即得：
2y2-7y+5≥0，y≤1或y≥ 。
三、构造特例
在“至多”（或“至少”）“存在”型题目的求解中，常可构造一个特例（特殊值或代数式）来解决问题。
例5：设有一列数ai（i=1，2，…，n），其中，任何三个连续项的和为正，任何五个连续项之和为负。求证：n≤6。
证明：反设n≥7时原命题成立，看七个数的情况，若证得七个数时，从而证得当n>7时命题不成立。构造如下排列表：
a1，a2 ，a3
a2，a3 ，a4
a3，a4 ，a5
a4，a5 ，a6
a5，a6，a7
根据条件知，横看十五个数为正，竖看十五个数为负矛盾，因此，n≥7命题不成立。
而当n=6时，构造数列：3，-5，3，3，-5，3符合要求。
四、构造图形
对一些数学问题，根据题目的已知条件或结论进行恰当的分析与联想，构造出与之有关或满足条件的图形，来实现解题目标的方法叫做构造图形法。构造图形法的实质是将“数转化为形”，借助图形解决问题。以形助数，充分利用图形形象直观的特点尽快地进入问题情境，把握解题思路探求的关键，在形象思维与逻辑思维紧密结合的高度上认识与分析问题，最终使问题获得解决。构造图形是古典几何中传统的基本方程（像添辅助线也是一种构造），图形不仅是几何问题的对象，而且还可以用于解答乍看似乎与几何无关的各类问题。
例6：已知0＜x＜1，0＜y＜1，求证：
+ + + ≥2 。
分析：如果用所学代数不等式知识证明，显然比较复杂，如图2建立数学直观模型单位正方形ABCD。
证明：P是单位正方形ABCD内部任意一点，则
PD= ，
PA=
PC=
PB=
∴ PA+PC≥AC，
PD+PB≥BD，
∴ PA+PB+PC+PD≥AC+BD=2 。即
+ + + ≥2 。
例7：已知等比数列： ， ， ，…， ，…
求当n?邛∞时，这个数列前n项的和Sn的极限。
解：构造单位正方形如图3，把等比数列和的极限想象成图中的各小矩形和小正方形面积的和（阴影部分）的极限，显然，这个极限等于单位正方形的面积1。
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