首页 -> 2007年第2期
利用数学建模培养高职学生的数学应用能力
作者：李宏平
关键词：高职；数学模型；应用能力
数学最显著的特点之一就是其应用极其广泛。在我们日常生活中随处都能找到数学的影子。在社会生活的各个领域，都在运用着数学的概念、法则和结论。很多看似和数学无关的问题都可以运用数学工具加以解决。但很多高职学生由于基础薄弱，学习数学的兴趣不高，不知道数学有什么用途，他们认为数学是枯燥无味的，学习数学就是为了应付考试。而现在数学素养已成为公民文化素养的重要内容，更是大学生不可或缺的基本素质。高等数学教学一个很突出的方面就是培养学生的应用能力。数学模型是沟通实际问题与数学工具之间的桥梁，建立和处理数学模型的过程，实际上就是将数学理论知识应用于实际的过程。本文拟就数学模型在教学中的应用作粗浅探讨。
重视知识应用过程，提高学生学习数学的兴趣
学生能否对数学产生兴趣，主要依赖于教学过程，与教学内容和教学方法的选择和应用密切相关。因此，教师必须在教法和学法指导上多下工夫，狠下工夫，从数学应用的角度处理数学、阐释数学、呈现数学，以提高学生的数学理论知识和操作水平；必须加强数学应用环节的实践，注重用数学解决学生身边的问题，用学生容易接受的方式展开数学教学，注重学生的亲身实践；必须重视在应用数学中传授数学思想和方法，把培养学生解决实际问题的能力作为教学内容的主线，运用“问题情境—建立模型—解释与应用”的教学模式，多角度、多层次地编排数学应用的内容，有效地激发学生的学习兴趣。
例1：7只茶杯，杯口全部向上，每次翻转其中的4只(杯口向上的变为杯口向下，杯口向下的变为杯口向上)。能否经过有限次的翻转，使得7只茶杯的杯口全部向下？
分析：将7只茶杯用字母分别表示为Ａ1、Ａ2、…Ａ7，茶杯的杯口朝上记为Ａi=+1，杯口朝下记为Ａi=－1（ｉ=0，1，2，…7），每次翻转改变其中的4只杯子的杯口方向，相当于7个字母中的4个字母取值改变符号，即相当于将其中4个字母各乘以－1。
问题归结为：已知7个字母Ａ1、Ａ2、…Ａ7，在开始时全部取值为+1，每次改变其中4个字母的符号，经过有限次后能否将7个+1变为7个－1？
解析：考察经过第ｉ次翻转的7个字母的乘积Ｍi=Ａ1Ａ2…Ａ7，开始的时候相当于7个字母取值全为+1，它们的积Ｍ0=Ａ1Ａ2…Ａ7=（+1）7=+1；经过一次翻转后，Ｍ1=Ａ1Ａ2…Ａ7=Ｍ0（－1）4=+1；经过两次翻转后，Ｍ2=Ａ1Ａ2…Ａ7=Ｍ1（－1）4=+1；……所以不论经过多少次翻转，7个字母的乘积保持不变，仍为+1。另一方面，杯口全部朝下，相当于7个字母全部取值为－1，它们的乘积是－1。这就表明，经过有限次的翻转，7个+1绝不会变为7个－1。因此，经过有限次的翻转，不能使7只茶杯的杯口全部朝下。
例2：某人第一天上午8点由山下出发，下午15点抵达山顶；第二天上午8点由山顶出发按原路返回，并于下午15点回到山下原出发点。问在两天的行程中是否存在这样一个点，该人经过这个点时，两天的手表指向同一时刻？
分析：这个问题初看起来不容易得到答案。我们可以换一个角度思考，把该人在两天中做的事改到同一天中来做，设想将这个人再“克隆”出一个人来，上午8点该人由山下出发，而“克隆人”同时由山上出发，由于走的是同一条路线，因此该人与其克隆人必定在中途相遇，在相遇点处，则手表指向同一时刻。
下面用数学工具证明。该问题与行走的路线长度、形状无关，不失一般性，不妨设行走的路线是线段ＡＢ，设行走的时间ｔ是位置ｘ的连续函数。
第一天，Ａ→Ｂ，设ｔ=ｆ（ｘ），Ａ≤ｘ≤Ｂ，且ｆ（Ａ）=8，ｆ（Ｂ）=15；第二天，Ｂ→Ａ，ｔ=ｇ（ｘ），Ａ≤ｘ≤Ｂ，且ｇ（Ａ）=15，ｇ（Ｂ）=8。
问题归结为：已知连续函数ｆ（ｘ）、ｇ（ｘ），Ａ≤ｘ≤Ｂ，且ｆ（Ａ）=8，ｆ（Ｂ）=15；ｇ（Ａ）=15，ｇ（Ｂ）=8。求证：存在点ｘ0∈[Ａ，Ｂ]，使得ｆ（ｘ0）=ｇ（ｘ0）。
证明：设Ｈ（ｘ）=ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）Ａ≤ｘ≤Ｂ，则Ｈ（ｘ）也是连续函数，且Ｈ（Ａ）=ｆ（Ａ）－ｇ（Ａ）=8－15<0，Ｈ（Ｂ）=ｆ（Ｂ）－ｇ（Ｂ）=15－8>0，因此存在ｘ0∈[Ａ，Ｂ]，使得Ｈ（ｘ0）=0，即ｆ（ｘ0）=ｇ（ｘ0）。
通过趣味数学应用的案例分析与数学建模，体现了数学应用的广泛性，在一定程度上帮助学生看到数学生动、有趣、甚至好玩的一面，以丰富数学学习的内容，提高学生学习数学的积极性、主动性、探索性。
另外，课堂教学中应充分发挥学生的主体作用和教师的主导功能。教师可根据教学内容的特点，精心组织、科学设计，把抽象的概念、深奥的原理，寓于生动、有趣的典故、发现史中，适当、合理地运用图片、模型、多媒体教学等手段，促进理论与实际的有机结合，使学生产生浓厚的学习兴趣。只有当学生有了学习兴趣，思维达到“兴奋点”，才能带着愉悦、激昂的心情去面对和克服一切困难，执着地去比较、分析、探索认识对象的发展规律，展现自己的智能和才干。这无疑是让学生体验成功的重要举措，更是提高学生数学兴趣的有效途径。当学生应用数学知识去解决了一个个实际问题，他们的学习兴趣必将被更进一步地激发起来，成为进一步学习的内驱力。
通过“数学建模”活动和教学，培养学生运用数学的能力
培养学生数学应用能力是高职数学教育的根本任务，是数学教学目的中的重要内容。数学应用能力是一种综合能力，它离不开数学运算、数学推理、空间想象等基本的数学能力。应把应用问题的渗透和平时教学有机地结合起来，循序渐进。在数学应用意识和能力的培养中，应特别重视学生探索精神和创新能力的培养，把数学应用问题设计成探索和开放性试题，让学生积极参与，在解题过程中充分体现学生的主体地位。在运用数学知识去解决实际问题时，首先要建构实际问题的数学模型，然后用数学理论和方法找出结果并用于实际，这样既可解决实际问题，又能促进数学新思想、新理论的建立和发展。因此“数学建模”是沟通数学理论与实际的中介和桥梁，培养学生“数学建模”能力是培养学生数学思维和应用能力的重要手段，在教学过程中穿插建模能力训练对学生是十分必要的。培养学生建模能力是一个循序渐进的过程。开始应从简单问题入手，师生共同创建模型，引导学生初步掌握应用数学形式建构模型的方法，培养学生积极参与和勇于创造的意识。随着学生能力和经验的增加，可通过实习作业或小组活动的形式，由学生展开分析讨论，分析每种模型的有效性，提出修改意见，讨论是否有进一步扩展的意义。这样可以纠正学生理解上存在片面性的问题，在不断发展、不断创造中培养信心。虽然高职学生的数学基础知识对于某些数学模型的建立略显不够，但只要花很短的时间补一下，还是可以解决问题的，关键是培养学生如何将所学数学理论与实践相结合的能力。
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